ho sentito parlare della congettura di Poincaré: chi mi sa spiegare di che cosa si tratta?

Answer 1

si tratta di un complicato problema sulla definizione delle proprietà delle sfere che ha fatto impazzire per oltre un secolo i matematici. proprio oggi leggevo che il russo Grigory Perelman, il più celebre personaggio del mondo della matematica, ha rifiutato il più prestigioso premio mondiale del settore perchè amareggiato da quello che gli sembra esser stato il trattamento ingiusto subito dai suoi colleghi intellettuali.

Answer 2

La Congettura di Poincaré è comunemente considerata il più importante problema insoluto della topologia.

Motivazione ed enunciato della congettura

Nel 1904 Henri Poincaré stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarebbe stata chiamata topologia algebrica. Egli in particolare studiava le proprietà e caratteristiche topologiche della sfera.

Poincaré aveva sviluppato uno strumento matematico chiamato omologia, che distingueva e permetteva quindi di classificare topologicamente tutte le varietà di dimensione 2. Egli congetturò inizialmente un fenomeno analogo in dimensione 3, ovvero che l'omologia distinguesse almeno la sfera tridimensionale dalle altre varietà. Si accorse molto presto di essere in errore, dato che riuscì a costruire una varietà, chiamata successivamente sfera di Poincaré, con la stessa omologia della sfera ma non omeomorfa ad essa. Spazi di questo tipo (ve ne sono in verità infiniti) vengono ora chiamati sfere di omologia.

Egli allora sviluppò un nuovo strumento, in un certo senso più raffinato, chiamato gruppo fondamentale. Si domandò quindi se questo strumento fosse sufficiente a distinguere la sfera dalle altre varietà tridimensionali. Poincaré non ha mai dichiarato esplicitamente di credere all'affermazione seguente, però questa è passata alla storia come la "congettura di Poincaré".

Ogni 3-varietà semplicemente connessa chiusa (ossia compatta e senza bordi) ed orientabile è omeomorfa a una sfera tridimensionale.

Detto con termini diversi, la congettura dice che la sfera è l'unica varietà tridimensionale "senza buchi", cioè dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto.

Answer 3

Scriveti la spiegazione in un massaggio è alquanto complicato e longo, quindi ti posso dare un link in cui è spiegato il tutto in parole molto semplici, ad ogni modo c'è anche una parte analitica molto simpatica e dettagliata.
Ciao Ciao
Il link è: http://math.unipa.it/~grim/scimonepoincare.pdf#search=%22relazione%20Poincar%C3%A8%22

Answer 4

Nel 1904 Henri Poincaré stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarebbe stata chiamata topologia algebrica. Egli in particolare studiava le proprietà e caratteristiche topologiche della sfera.

Poincaré aveva sviluppato uno strumento matematico chiamato omologia, che distingueva e permetteva quindi di classificare topologicamente tutte le varietà di dimensione 2. Egli congetturò inizialmente un fenomeno analogo in dimensione 3, ovvero che l'omologia distinguesse almeno la sfera tridimensionale dalle altre varietà. Si accorse molto presto di essere in errore, dato che riuscì a costruire una varietà, chiamata successivamente sfera di Poincaré, con la stessa omologia della sfera ma non omeomorfa ad essa. Spazi di questo tipo (ve ne sono in verità infiniti) vengono ora chiamati sfere di omologia.

Egli allora sviluppò un nuovo strumento, in un certo senso più raffinato, chiamato gruppo fondamentale. Si domandò quindi se questo strumento fosse sufficiente a distinguere la sfera dalle altre varietà tridimensionali. Poincaré non ha mai dichiarato esplicitamente di credere all'affermazione seguente, però questa è passata alla storia come la "congettura di Poincaré".

Answer 5

Nel 1904 Henri Poincaré stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarebbe stata chiamata topologia algebrica. Egli in particolare studiava le proprietà e caratteristiche topologiche della sfera.

Poincaré aveva sviluppato uno strumento matematico chiamato omologia, che distingueva e permetteva quindi di classificare topologicamente tutte le varietà di dimensione 2. Egli congetturò inizialmente un fenomeno analogo in dimensione 3, ovvero che l'omologia distinguesse almeno la sfera tridimensionale dalle altre varietà. Si accorse molto presto di essere in errore, dato che riuscì a costruire una varietà, chiamata successivamente sfera di Poincaré, con la stessa omologia della sfera ma non omeomorfa ad essa. Spazi di questo tipo (ve ne sono in verità infiniti) vengono ora chiamati sfere di omologia.

Egli allora sviluppò un nuovo strumento, in un certo senso più raffinato, chiamato gruppo fondamentale. Si domandò quindi se questo strumento fosse sufficiente a distinguere la sfera dalle altre varietà tridimensionali. Poincaré non ha mai dichiarato esplicitamente di credere all'affermazione seguente, però questa è passata alla storia come la "congettura di Poincaré".