Il y a fort longtemps, en prépa, un prof de maths nous a sorti (mais pas de démonstration) que la plupart des triangles, à 5° près pour un de leurs angles, étaient soit isocèles, soit rectangles. Etant donné deux points (non confondus évidemment), il n'existerait qu'une toute petite zone du plan où ceci ne serait pas vérifié. Quelqu'un aurait des infos là-dessus ? démo ? détails ?
Merci
2006-08-21 09:38:32 · 11 réponses · demandé par david 3 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
D'après moi, c'est parfaitement inexact !!! Si tu as le courage de me suivre dans les petites explications qui suivent...
Considérons O et A, 2 points donnés du plan, que l'on prendra comme base d'un référentiel (O,OA,Oy).
B est un point quelconque du plan, nous allons étudier les triangles (OAB). Les coordonnées de B sont (x,y) en rectangulaire ou (p,t) en polaire. Du fait de la symétrie du problème par rapport à la médiatrice de [OA] et par rapport à (OA), on va prendre B dans le quart de plan aux coordonnées rectangulaires positives x>=1/2 et y>=0 (donc t est dans [0,90°]).
On pose M=milieu de [OA]
Zone RA : Triangle rectangle en A à 5° près.
Il faut et il suffit que B soit dans le secteur de demi-angle 5°, de sommet A et de bissectrice (Ay).
rem : ce secteur va se superposer à Zone RO, son symétrique par rapport à (My), dès que y>cotan (5°)=11,43...
Zone RB : Triangle avec rectangle en B à 5° près.
On sait que l’ensemble des point B tel que (OBA) = valeur fixée est un cercle passant par O et A et de centre N vérifiant (ONA) = 2 (OBA). (cas particulier (OBA) = 90° alors le cercle a pour diamètre [OA].
Donc B est dans la zone comprise entre les 2 cercles passant par O et A dont la tangente en A fait un angle de 5° (pour le premier cercle) et –5° (pour le second).
Pour la suite, on va poser :
C est la projection de B sur (OA), C a pour coordonnées (x ;0).
Zone IA : Triangle isocèle en A à 5° près, ce que nous définissons par (AOB)=(OBA)+/-5°.
On a OC=pcos(t), AC=pcos(t) – 1 et CB=psin(t).
Tan(CAB)=CB/AC=psin(t)/(pcos(t)-1)
Donc : (CAB)=arctan(psin(t)/(pcos(t)-1) et OAB=180- arctan(psin(t)/(pcos(t)-1)
La somme des angles du triangle (OAB) est 180°, donc (ABO) + p + (OAB) = 180°.
D’où : (ABO) = 180 – t – (180- arctan(psin(t)/(pcos(t)-1))= arctan(psin(t)/(pcos(t)-1) – t.
L’ensemble des points B recherchés vérifie (OBA) - (AOB)=s*5° (ou s décrit [-1 ;1]).
Donc : s*5° = arctan(psin(t)/(pcos(t)-1) – 2t, d’où psin(t)/(pcos(t)-1) = tan(2t+s*5°)
D’où : (F1) p = 1/(cos(t)-(sin(t)/tan(2t+ s*5°)).
Rem : cette formule est valable pour t dans [0° ;90°] avec la convention tan(90)=infini et 1/infini=0.
On vérifie au passage que pour s=0 (triangle parfaitement isocèle), l’écriture en coordonnées polaires que l’on vient d’établir correspond bien au cercle de centre A et de rayon 1 p=2cos(t).
La zone IA n’est a priori pas facile à décrire. Afin de montrer que de « nombreux » points du plan ne sont pas dans cette zone, on va diviser le demi-plan en 2 secteurs : S1 :t dans [7° ;90°] et S2 : t dans[0° ;7°].
Dans S1, l’étude de (F1) (visualisée avec excell), montre que p est décroissante avec s et croissante avec t, donc p est bornée p(t=7° ;s=-1)=4,48
Dans S2, p peut prendre de très grandes valeurs.
En conclusion pour IA : c’est une zone inclus dans IA’ = union d’un cercle de rayon 4,48 et de centre O et d’un secteur de demi-angle 74° et de bissectrice (Ox).
Zone IO : Triangle isocèle en O à 5° près.
On ne peut pas avoir x>1 (donc (OAB)>90°) et (AOC)>5°, sinon (ABO)>85° , donc (ABO)=(OAB) +/-5° est impossible. Donc la zone IC pour x>0 est comprise dans IA’.
Zone IB : Triangle isocèle en B à 5° près.
On a OC=pcos(t), AC=pcos(t) – 1 et CB=psin(t).
Tan(CAB)=CB/AC=psin(t)/(pcos(t)-1)
Donc : (CAB)=arctan(psin(t)/(pcos(t)-1) et (BAO)=180- arctan(psin(t)/(pcos(t)-1)
L’ensemble des points B recherchés vérifie (BAO) - (AOB)=s*5° (ou s décrit [-1 ;1]).
Donc : s*5° = arctan(psin(t)/(1-pcos(t)) – t, d’où psin(t)/(1-pcos(t)) = tan(t+s*5°)
D’où : (F2) p = 1/(cos(t)+(sin(t)/tan(t+ s*5°)).
Rem : cette formule est valable pour t dans [0° ;90°] avec la convention tan(90)=infini et 1/infini=0.
On vérifie au passage que pour s=0 (triangle parfaitement isocèle), l’écriture en coordonnées polaires que l’on vient d’établir correspond bien à la droite (My) p=1/(2*cos(t).
La zone IB n’est a priori pas facile à décrire. Afin de montrer que de « nombreux » points du plan ne sont pas dans cette zone, on va diviser le demi-plan en 3 secteurs : S1 :t dans [7° ;83°], S2 : t dans[0° ;7°] et S3 t dans [83° ;90°]
Dans S1, l’étude de (F1) (visualisée avec excell), montre que p est croissante avec s et croissante avec t, donc p est bornée p(t=7° ;s=1)=6,38
Dans S2 et S3, p peut prendre de très grandes valeurs.
En conclusion pour IB : c’est une zone incluse dans IB’ = union d’un cercle de rayon 6,38 et de centre O, d’un secteur de demi-angle 7° et de bissectrice (Oy) et d’un secteur de demi-angle 7° et de bissectrice (Ox).
Au final, l’ensemble des points B répondant à OAB isocèle ou rectangle à 5° près est inclus dans une zone union de IB’ et de RA.
Cette zone n’est pas optimisée, on peut même, en perdant encore en précision, démontrer facilement que les points B sont :
Dans un cercle de rayon 5,38 autour de A,
Ou dans le secteur de demi-angle 7°, de sommet A et de bissectrice (Ay)
Ou dans le secteur de demi-angle 7°, de sommet A et de bissectrice (Ax)
Ou dans la bande délimitée par (Oy) et (Ay)
Donc tous les points N hors de cette zone, c’est à dire dans un secteur de sommet A et d’angle 76° et de bissectrice à 45° et à plus de 5,38 de A, ne répondent pas à ANO est un triangle rectangle ou isocèle à 5° près.
Ce qui fait quand même beaucoup : plus de 84% de l’espace au moins !!! (notion qui ne signifie par grand chose pour un ensemble infini)
Rem : en fait, l’ensemble des points B est encore plus réduit, comme on pourrait s’en rendre compte en traçant précisément les zone RA, RO, RB, IA, IO et IB.
Merci de ce petit exercice qui dérouille nos petites cellules grises.
2006-08-21 14:14:40 · answer #1 · answered by dylasse 3 · 3⤊ 0⤋
c'est faux, par contre ce qui est vrai c'est qu'il est particulièrement difficile de ne pas tomber sur un triangle particulier.
Lorsqu'on a deux points A et B,et qu'on veut placer un point C pour que le triangle ABC ne soit ni rectangle ni isocèle, il mettre le point C en dehors:
* du cercle de diamètre AB ( sinon il est recangle en C)
*de la perpendiculaire à AB passant par A ou B (sinon il est rectangle en A ou B)
*de la médiatrice de AB ( sinon il est isocèle en C)
*du cercle de centre A ou B et de rayon AB (sinon il est isocèle en A ou B)
Voilà si tu fais une figure, tu verras qu'il reste suffisamment de possibilité pour construire des triangle de plus de 5° de différence. mais tu verras également que dans la zone ou on a l'habitude de placer machinalement le point C, on a toutes les chances que le triangle soit particulier et c'est sans doute tout le sens des propos de ton prof.
2006-08-21 22:50:57 · answer #2 · answered by boujaddi m 2 · 2⤊ 0⤋
Regarde sur internet le triangle scalène,ou dans un dico .Il s'agit du triangle auquel tu fais allusion
2006-08-29 01:11:06 · answer #3 · answered by sphinx 3 · 0⤊ 0⤋
-- hé bé, on en apprend des trucs, vraiment
2006-08-28 01:28:43 · answer #4 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
En prenant 3 points de manière aléatoire dans un carré de 10*10,
le pourcentage de triangle répondant aux critères
un des angles est "droit" à +/- 5° (triangle rectangle)
deux angles égaux à +/- 5° (triangle isocèle)
On obtient sur 21626 triangles "testés" la valeur de 8176 triangles répondant à ces deux critères soit près de 38%
Si deux points sont fixes et seul le troisième "bouge", ce taux passe à 46%
J'ai testé en faisant varier la distance des deux points fixe, le taux chute à 14% si la distance est de 0,5 unité contre 10 unités dans le cas précédent.
Test fait sur Excel
2006-08-26 20:27:21 · answer #5 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
isocele.
2006-08-25 22:11:59 · answer #6 · answered by ? 6 · 0⤊ 0⤋
Sans avoir de preuve absolue,je suis très sceptique pour la raison suivante:Avec un vieux Thomson TO9+ j'ai fait tirer au sort par la fonction RND des triangles dont les trois sommets ont leurs coordonnées entre 0 et 100 (avec 6 ou 7 chiffres après la virgule pour chaque coordonnée) puis j'ai fai calculer par l'ordinateur si un angle mesurait 90° à 5° près et si deux angles différaient de moins de 5°.Chaque fois que l'une des conditions précédentes (au moins) avait lieu,le triangle était compté "bon".
Après quelques centaines de triangles le pourcentage de "bons " triangles semblait se stabiliser autour de 41%.Il me semble qu'un tel choix est assez équitable sur la forme d'un triangle pris au hasard.Dans ta question,tu parles de fixer deux points.J'ai donc recommencé en prenant deux points proches "au milieu du carré" (coordonnées(49;49) et (50,50) ,le troisième étant tité au sort dans le carré.A ma grande surprise,le pourcentage de "bons"triangle se stabilisait beaucoup plus bas (dans les 16% pour 250 triangles environ).Si d'autres internautes tentent des expériences semblables,j'aimerais bien avoir leurs résultats pour comparer!
2006-08-24 02:05:01 · answer #7 · answered by fouchtra48 7 · 0⤊ 0⤋
Je pense que ce n'est pas entièrement faux dans la mesure ou au collège (Pour les DM de math) lorsqu'on trace un triangle a priori quelqconque, on tombe souvent sur un cas particulier (du type isocèle ou rectangle) et que c'est parfois difficile d'avoir un vrai triangle quelconque...
2006-08-21 22:28:12 · answer #8 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋
Il ne faut pas prendre ce que disent les autres pour argent comptant. Peut-être que ce professeur voulait seulement vous inciter à regarder un problème à votre portée.. ce qui compte c'est la pédagogie.
C'est évidemment faux dans une zone infinie du plan quelque soit le choix des points de base. Il faut donc définir ce que "toute petite" veut dire.
2006-08-21 19:18:39 · answer #9 · answered by Champoleon 5 · 0⤊ 0⤋
c'est pas trop dur a modéliser. Mais je pense que c'est un peu laborieux à ecrire. Si tu as le matériel, je te suggere une simulation sur un logiciel de geormtrie dynamique.
2006-08-21 10:18:53 · answer #10 · answered by J鲴me D 3 · 0⤊ 0⤋