Approximation rationnelle d'un irrationnel...?

Question

Soit (x_n) une suite de rationnels qui tend vers un irrationnel x. La suite des dénominateurs (de la fraction ss forme irréductible x_n) peut-elle être bornée ?
Indication: c'est facile, niveau MPSI ;-)

Answer 1

Je note x_n = p_n / q_n

Par l'absurde, si la suite des denominateurs q_n était bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous suite convergente q_f(n) vers q aussitot entier (Z est fermé).

alors p_f(n) = x_n * q_f(n) converge vers x * q irrationnel. c'est exclu car Z est fermé.

On peut démontrer de la même manière que q_n --> infini

Answer 2

On suppose les xn, an et bn positifs (ça ne réduit pas l'étude).

On va démontrer par l'absurde que si x n'est pas rationnel alors bn n'est pas borné.

Si bn est une suite bornée par B, on a an = xn * bn, produit d'une suite convergente par une suite bornée, donc an est bornée, disons par A.

les valeurs de xn = an/bn vont donc prendre leur valeur dans une P, une partie finie de Q, l'ensemble des rationnel, ou P={q/p;q<=A, p<=B}.
P est un fermé au sens topologique, donc la limite d'une suite de P est une valeur de P.
Donc, x est un rationnel.

Donc si x est irrationnel, alors bn n'est pas bornée.

complément : l'ami J#me D ayant, comme moi, sauté rapidement sur le fait que limite de xn est un élément de P, je m'en vais le montrer :
Les élements de P étant en nombre fini, il va exister une distance minimale entre 2 d'entre eux pris au hasard. Soit e une valeur inférieure à cette distance.
Comme lim xn=x, on a par définition, pour tout e>0, il existe n0, tel que pour tout n>=n0 et m>n0 on ait : |xn-x| Ceci n'est possible que si xn=xn0 (car sinon |xn-xn0|>e), donc lim xn=xn0 qui appartient à P.

Answer 3

En effet c'est pas trop dur meme si je suis un peu rouillé. Je pense que je peux proposer une demonstration.
xn=an/bn an et bn entiers premiers entre eux. supposons bn bornée.
comme les bn sont tous des entiers et que bn est borné, il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour bn.
de plus xn converge. Donc xn borné, donc xnbn borné, donc an borné. comme les an sont tous des entiers, il n'y a qu'un nombre fini de possibilités pour an.
Donc il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour an/bn=xn. Or xn converge vers x. Comme il n'y a qu'un nombre fini de xn différents, x en fait forcément partie (demonstration annexe disponible sur demande) donc x est rationnel ce qui est absurde.

Answer 4

Dommage que j'ai abandonné mes cours de prepa depuis plus de 3ans

Answer 5

oui oui j'suis d'accord....