Vectores linealmente independientes?

Question

C = { v1, v2 , v3} es linealmente independiente.

D = {xv1 + v2, xv1 + xv2 + v3, xv1+ v2 + xv3} para qué valores de x es D linealmente independiente ?

Lo hice pero llego a una expresión no a valores de x.

OK. hice la matriz

x 1 0
x x 1
x 1 x

Si el determinante es distinto de 0 significa que el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la trivial. O sea que para obtener los valores de x bastaría con encontrar la expresión del determinante, igualarla a 0 y esos son los valores que no puede tomar x (porque sino el sistema tendría infinitas soluciones).

Está bien resolverlo así?

Answer 1

Si mal no recuerdo, tenés que resolver este det

x 1 0
x x 1
x 1 x

Si el det es 0, significa que D no es un conjunto LI de 3 vectores

x^3 + x - 2x = x (x^2 -1) = 0

Soluciones: 0, 1 y -1

Verifiquemos

0 1 0
0 0 1
0 1 0

tiene una fila de 0, así que el det es 0.

1 1 0
1 1 1
1 1 1

que tiene 2 filas iguales, es 0

-1 1 0
-1-1 1
-11 -1

-1-1+1 +1 = 0 OK

O sea: Si x = 0 o x = +/- 1, D no es un conjunto LI de 3 vectores (linealmente dependiente)

Vamos a ver si es verdad

Si x = 0

D = {v2, v3, v2} Tengo un vector repetido, así que en realidad, D es {v2,v3}, Li de dimensión 2.

Si x = 1

{v1+v2,v1+v2+v3, v1+v2+v3} idem.

{-v1+v2,-v1-v2+v3,-v1+v2-v3} Vamos a ver si es LI. Si lo es, somo va a haber una CL trivial para este caso:

a(-v1+v2)+ b(-v1-v2+v3)+c(-v1+v2-v3) = O, O el nulo de 3x3

De lo anterior sacamos 3 ecuaciones:
(-a-b-c)v1 +(a-b+c)v2 +(b-c)v3 = O

Como C es LI, los coeficientes sólo pueden ser 0. Obtengo así esto:

-a-b-c = 0
a-b+c = 0
b-c = 0

Y esto es un sistema homogéneo, es, por lo tanto compatible. Para saber si es determinado (o sea, a, b y c serían sólo 0), su determinante tiene que ser diferente de 0


-1-1-1
1-1 1
0 1 -1, que es 0


Saludos

Ana

Answer 2

si esta bien

Answer 3

Si armas la matriz ( X 1 O ; X X 1; X 1 X ) te fijas para que valores de x tenes lineas l. d... Si x= 1, no es indp`te, si X=0, tampoco, despues, es indep`te para todo X perteneciente a R