Para pensar x 10 puntitos!!?

Question

En un concgreso de matemáticos se hizo el siguiente problema: Se eligen dos números enteros, distintos, ambos mayores de 1 y no superiores a 20. A un matemático se le dió la suma de ambos números y a otro el producto y se les dijo que a ver si alguno era capaz de adivinar los números elegidos.

El primer matemático llamó al segundo y le dijo: «No sé cómo vas a poder averiguar mi suma»

Al rato el segundo dijo: «Ya sé cuando vale tu suma»

Después contestó el primero: «Pues ya sé cuando vale tu producto»

¿Cuáles son los dos números elegidos?

No falta ningún dato!!

Fe de erratas: Cuando=Cuanto

Sin desilusionar a nadie, todavía no vi una respuesta correcta. Si muy buenos razonamientos. A pensar!!

Answer 1

Los números son 4 y 13, por tanto, la suma y el producto valen 17 y 52.
Veamos por qué.
Llamemos S de suma y P de producto para abreviar.
De la frase de S "No veo como vas a poder averiguar mi suma", podemos deducir que el número que tiene S no puede expresarse como suma de dos primos. Por ejemplo, si S valiera 12 (que es suma de los primos 5 y 7), entonces, S sabría que el número que tiene P es uno de los siguientes:20 (2x10), 27
(3x9); 32 (4x8); 35 (5x7) o 36 (6x6). Sea cual sea el número que tenga P de éstos, S sabe que P no puede deducir los dos números multiplicados. Si P tuviera 35, P deduciría sin necesidad de comunicarse con S, que los números son 5 y 7 y por tanto podría averiguar la suma (12).
Descartamos de esta forma para S todos los posibles valores que sean suma de 2 primos (los números pares, y los impares de la forma 2 + Primo). Nos quedan entonces para S las posibilidades 11, 17, 23, 27, 29, 35 y 37.En resumen, de la frase de S se deduce que S es uno de los números de la anterior lista.
Veamos, por ejemplo que pasa si S vale 11.
En tal caso, las posibilidades para P son 18 (2x9), 28 (3x8), 28 (4x7), 30 (5x6). Nótese que sea cual sea el valor de P de los ahí expuestos hay varias posibilidades para S.Ahora bien, la frase que dice S le sirve a P para deducir cuales son los dos números.
Si P vale 18, entonces P sabe que S tiene, o bien 11 (2+9), o bien 9 (3+6) (antes de que le diga nada S).Con la frase de S, el valor 9 queda descartado, luego S debe valer 11.Por tanto, si P vale 18, la frase de S le basta para obtener los dos números.
Si P vale 24, la frase de S también le basta para obtener los dos números, pues los posibles valores de S son 14, 11, 10.
Si P vale 28 ocurre exactamente igual, pues los posibles valores para S son en este caso 15 y 11.
Nótese que si P valiera 30, entonces P no podría obtener los números, pues en este caso, los valores de S podrían ser 17, 13, 11. Por tanto, podríamos estar en el caso 2-15 ó 5-6.
Pero resulta que al darle P la información "pues con esta información, ya se cuanto vale tu suma", S es capaz de averiguar el producto.Si S=11, la frase de P le deja a S las posibilidades 18, 24, 28 (elimina la opción 30). Por tanto, S no puede valer 11.Si S valiera 23, entonces los posibles valores para P, (después de la primera afirmación de de S) serían 42,60,76,90,102,112,120,126,130,132 (nótese que ,en principio, S y P no conocen el límite 20). Con P=76, P podría determinar los dos números (4,19), pues en este caso, los posibles valores para S serían 23,40. De la misma forma, vemos que con P=112, los posibles valores de S son 22,23,32,58. Y el único que está en la lista primera es 23.De esta manera, descartamos S=23.
Podemos descartar también S=27 (P=50=2x25 y =176=11x16), S=29 (P=54=2x27 y P=208=13x16).De esta forma, nos que da la posibilidad S=17. Los posibles valores para P son 30,42,52,60,66,70,72.P=30 queda descartado, pues 30=2x15 = 5x6, y los números 17 (2+15) y 11(5+6) están en la primera lista.
P=42 queda también descartado, pues 42=3x14 = 2x21.
P=60 queda descartado, pues 60=5x12=3x20.P=66 eliminado, pues 66=6x11=2x33.P=70 descartado, pues 70=7x10=2x35.
P=72 descartado, pues 72=8x9=3x24.Y nos queda únicamente P=52=4x13.Sabiendo los valores de P y S, repitamos la conversación.S, que tiene un 17 sabe que los posibles valores de P son 30,42,52,60,66,70,72. Cualquiera de ellos se puede poner al menos de dos formas como producto de dos números, por tanto, dice a P "No veo como vas a poder averiguar mi suma".P tiene el valor 52. Sabe que S tiene, bien 17, bien 28 (P noconoce el límite 20). Pero si S tuviera 28 no podría haber hecho la afirmación anterior, pues para Simón, un valor de P posible sería 11x17=187.Deduce por tanto que S=17, y dice entonces "pues con esta información, ya se cuánto vale tu suma". S sabe que si P valiera 30, 42, 60, 66, 70 ó 72, P no podría haber averiguado el valor de S, por tanto, para S la única posibilidad es P=52. Afirma entonces "Pues yo ya sé tu producto".
Gracias

Answer 2

Si el planteo es coherente, el par de números es único entre 2 y 20.
Tengamos en cuenta que nosotros ni siquiera tenemos el dato que ellos tenían, es decir, uno el resultado de la suma y el otro el resultado del producto, aún así, se espera que lo descubramos, con lo cual se infiere que los matemáticos no necesitaban saber el resultado de las operaciones. Averiguan los nùmeros aún sin los resultados por que buscan una conclusión a la que arriben ambos inevitablemente.
Hasta aqui un razonamiento, seguiré pensando en cual pueden ser esos números, no me sirve decis son el 2 y el 3 o 5 y 8 sin explicar por qué, pero si a alguien le sirven mis pistas espero que las aprovechen.
si lo resuelvo mejorare mi respuesta.
¿CuánDo vale la suma? eso es una "D" no una "T"
Tambien lo sabemos nosotros, vale cuando los numeros que la componen son mayores a 1, distintos entre si, y no mayores que 20.
Lo mismo ocurre con el producto, es decir vale "CUANDO" esté dentro de eso parámetros pero cualquier par d enumeros es posible.
En caso que hayas querido decir "CUANTO", te ruego lo corrijas asi seguimos pensando.
Sigo pensando en voz alta: quien tiene el resultado del producto no tiene un numero primo, ya que el 1 no está en uso, con lo cual el resultado del producto tiene varias parejas posibles.
El máximo producto posible es 19x20=380, el mínimo es 2x3=6
sigo pensando, y sigo luego..
Me sigue saliendo humito de la cabeza pero aún no envien los bomberos

Answer 3

primero que nada, si saben los numeros podran saber cual es la suma y el producto independientemente de que resultado sea el que tengan.

Se me ocurren varios pares de numeros que podrian ser :S

Ej: 2 y 3

Producto: 6
Suma: 5

El producto solo tiene una solucion ya que la otra alternativa es 6 y 1 y el 1 no es mayor que 1, la suma puede ser 4 y 1 pero 1 no es mayor que uno.

Answer 4

El primero es el 2 y el segundo es el 5

Answer 5

Se te olvidó decirme cuanto vale la suma y el producto.

Answer 6

6+9=69

Answer 7

2 y 2

Answer 8

2 y 3

Answer 9

Solo existe una manera de saber los números.
Los numeros elegidos deben ser ambos números primos. Eto permite al segundo matemáticos (el poseedor del producto) saber cuales son los dos enteros buscados (estos son los ñunicos divisores del producto) y asi calcular la suma del otro.

Al decir el segundo que sabe la suma del primero, este ultimo puede calcular entonces el producto del segundo, sabiendo que su suma debe ser el resultado de sumar dos numeros primos.

Solo pocos pares de numeros cumplen con esta condicion, a saber:
(3 - 5) (3 - 7) (3 - 11) (5 - 7) (11 - 17) (17 - 19) (11 - 17)

A este razonamiento deben agregarse los pares (2 - 3) y (2 - 4)que también permiten a ambos matematicos deducir la pareja original de numeros enteros.

Mi razonamiento llega hasta aca. Creo que, sin mayores datos, cualquiera de los nueve pares anteriores es una respuesta válida al problema.

Saludos

Answer 10

porque los numeros eran 0 y 1.