Combien ? Cherchez.?

Question

Problème:
1 chien vaut 15 €
1 chat vaut 1 €
1 souris vaut 0,25 €. Combien faut-il de chiens, de chats et de souris pour un total de 100 animaux et pour un total de 100 €.
J'aimerai une réponse mathématique genre formule ou équation que par tâtonnements. Merci d'avance. Je connais bien sur la réponse mais pas l'équation.

Answer 1

Le problème que tu poses est un système de 2 équations à 3 inconnues.
(1) 15 x + y + 1/4 z = 100 : le prix
(2) x + y + z = 100 : le nombre
avec x nb chiens, y chats et z souris.

Ce type d'équations, dans l'ensemble des réels R possède une infinité de solution (sauf cas particulier où les 2 équations sont incompatibles).
Si ton problème possède un nombre fini de solutions c'est que la recherche doit se faire dans l'ensemble des entiers naturels N (en effet il y a un nombre entier et positif de chaque animal !)

En première étape, nous allons travailler les équations dans R, pour exprimer deux inconnues en fonctions de la troisième.
Comme indiqué par une réponse précédente, on utilise dans le cas général le pivot de Gauss, mais là, l'observation rapide des 2 équations nous montre que (1)-(2) nous donne :
14 x - 3/4 z = 0, donc (3) x = 3 / 56 z.

On injecte dans (2) et on obtient 3/56 z + y + z = 100, soit :
(4) y = 100 - 59/56 z.

Deuxième étape : on sait que x,y et z sont entiers et positifs.
D'après (3), z doit être un multiple de 56

on essaie : z=0, (3) x=0 et (4) y=100 : c'est une solution qui marche.
on essaie : z=56, (3) x=3 et y=41 : c'est une solution qui marche aussi.
pour z >= 112 on a d'après (2) 100 - x - y >= 112 donc x+y<0, ce qui est impossible.

Les 2 seules solutions de ton problème sont donc :
0 chien, 100 chats et 0 souris ou 3 chiens, 41 chats et 56 souris

Answer 2

x le nombre de chiens, y celui de chats, z celui de souris. On a donc :
15x+y+z/4=100 <-> 60x+4y+Z=400 <-> 59x+3y=300
x+y+z=100 z=100-x-y <-> z=100-x-y
Ce système admet donc une inifinité de solutions réelles. Mais on ne cherche que les solutions entières, c'est un système diophantien ! On résoud donc la première équation dans Z, en utilisant l'arithmétique. Une solution particulière de 50x+3y=300 est (0,100). Comme 59 et 3 sont premiers entre eux, l'ensemble des solutions entières de cette équation est l'ensemble des couples (3k,100-59k), avec k entier relatif. Par suite, il existe un entier relatif k tel que :
x=3k
y=100-59k
z=100-3k-100+59k=56k.
Comme x,y,z sont positifs, on a :
3k>=0 <-> k>=0
100-59k>=0 k<=1
56k>=0.
Il y a donc deux solutions, pour k=0 et k=1.
Pour k=0 : (x,y,z)=(0,100,0)
Pour k=1 : (x,y,z)=(3,41,56)

Pour la résolution des équations diophantiennes du type ax+by=c, voir un livre d'arithmétique quelconque.

Answer 3

x chiens, y chats et z souris

15x+y+(z/4)=100 et x+y+z=100

on élimine z, il reste 59x+3y=300

x est donc un multiple de 3 puisque 59 est un nombre premier
donc x=3 ou 0 (x=6 trop gros) pour x=0 y=100 z=0
pour x=3 y=41 et z=56

Il n'y a pas de "formule" pour ce genre d'équation (Diophantienne) à cause de la contrainte d'avoir une solution en nombre entier. C'est comme de demander une formule pour les nombres premiers.

Answer 4

la meilleure reponse est deja developpée par Dylasse et en plus elle est bien exprimée mathematiquement
je range donc mon neurone

Answer 5

j'achete 100 chat tout simplement

Answer 6

Posons nos hypothèses
x : chiens
y : chats
z : souris

x, y et z entiers positifs ou nuls inférieurs ou égaux à 100

(1) : x + y + z = 100
(2) : 15x + y + 0,25z = 100

4 * (2) - (1) : (3) : y = 100 - 59/3x
(2) - (1) : (4) : z = 56/3x

si x = 0
z = 0 et y = 100

comme z est entier x est un multiple de 3
x = 3
donc z = 56 et y = 41

prenons x = 6
z > 100 ce qui est impossible d'après nos hypothèses

donc les solutions sont
{0 , 100 , 0} et {3 , 41 , 56}

Answer 7

Tu écris les données :
(1) 15x + y + z/4 = 100
(2) x + y + z = 100
(3) x, y et z entiers strictement posifitfs (sinon on a une deuxième solution triviale)

(1) - (2) : 56x = 3z, ce qui donne x=3 et z = 56
(2) donne : y = 41

Il n'y a pas d'autres solutions positives

En écrivant clairement les données, on n'a ainsi pas besoin de théorie

Answer 8

nn dsl je veux pas reflechir ; je suis en vacance et je n'ai envie pas de resoudre ce probleme ! lolll

Answer 9

Il y a une solution évidente:100 chats 0 chien 0 souris.Sinon il doit y avoir au moins 1 chien (car 100 autres animaux valent moins de 100 € sauf première solution) et le nombre de souris doit être un multiple de 4 (sinon le prix total ne serait pas entier car 0.25 = 1/4 ).Si l'on prend 1 chien alors il reste 85 € pour 99 animaux.99 chats valent 99 € et chaque fois que l'on remplace 4 chats par 4 souris on économise 3 € il faudrait économiser 14 € c'est impossible (14:3 n'est pas entier).Si l'on prend 2 chiens il reste 70 € pour 98 animaux par un raisonnement déjà fait le nombre de "paquets" de 4 souris doit être 28:3 encore impossible.Si l'on prend 3 chiens,le nombre de "paquets"de 4 souris doit être 42:3 = 14.On obtient une nouvelle solution
3 chiens 56 souris et 41 chats
Si l'on prend 4 chiens le nombre de "paquets" de 4 souris est
56:3 impossible.
Si l'on prend 5 chiens le nombre de "paquets" de 4 souris est
70:3 impossible
Enfin si l'on prend 6 chiens le nombre de "paquets" de 4 souris est 84:3=28 mais c'est impossible car cela ferait plus de cent souris .Donc il n'y a pas d'autres solutions (7 chiens dépassent les 100€)

Answer 10

3 inconnues: x= nb de chats; y= nb de chiens; z= nb de souris

2 équations:
x + 15y+0.25z = 100 (1)
x+y+z = 100 d (2)