est ce qu'il y a une méthode pour résoudre des équation du 3ème dergré dans l'ensemble R ou C?

Answer 1

Méthode de CARDAN
Mettre l'équation sous la forme x^3+p*x+q=0 (toujours possible en posant x=a*z+b , où z est l'inconnue initiale)
poser x=u+v et développer en u,v
u^3+v^3+(u+v)*(3uv+p)+q=0
poser uv=-p/3 d'où (u^3)*(v^3)=-p^3/27
poser U=u^3 et V=v^3
U et V sont solutions d'une équation du 2 eme degré (Somme et Produit connus!)
avec U et V connus il suffit de trouver u=Racine cubique(U)
attention il y en a 3 idem pour v et combiner judicieusement les u et v trouvés..en imposant uv=-p/3
Tout ceci se fait dans C

Pour le 4 eme degré c'est la méthode de FERRARI..
Pour le 5 eme et plus il n'y a pas de solution par radicaux systématique.

Answer 2

Méthode dite de CARDAN

Answer 3

la méthode de Cardan: due à Scipione del Ferro ou Tartaglia, on ne sait pas trop, ce qui est sûr, c que Cardan est un salopard d'usurpateur ;-) Bon, bref ! Je te la donne sous forme d'un exercice:

(1) x^3+ax^2+bx+c=0

pose y = x+lambda et trouve lambda tel que l'équation prenne la forme:

(2) y^3+py+q=0

maintenant, on pose y=u+v, et l'on impose 3uv+p=0, avec u,v dans C. Peux-tu justifier ça ? (indication: somme et produit, 2nd degré...)

bon ben si t'a les yeux en face des trous, t'arrive à une équation de somme et produits en (u^3,v^3) dans C !

Attention tu perds l'équivalence en élevant une équation au cube ds C !!! j'insiste: un nb complexe a 3 racines cubiques, alors que x -> x^3 est une bijection de R -> R

bon allez ... je te laisse finir ;-)

bon courage !

PS: j'aime bien les ptit comiques qui te parlent de racines évidents (ds le cas général)... quand on voit la gueule des formules de Tartaglia...

Answer 4

Ce ne sont pas les astuces qui manquent aux mathématiciens .
Pour résoudre une équation il ya des méthodes par approche et encadrements,des méthodes graphiques ,et des méthodes algébriques qu'on appelle avec radical et qui sont comparables à celle du 2ème degré.
Il exite une méthode sous radical pour le 3ème degré.
(méthode de Mr Cardan) , elle est un peu compliquée au point que je ne me rappelle plus très bien ,mais si tu insistes je saurai peut- être où te la trouver.
généralement ce qu'on présente aux éxamens c'est des équations du 3éme degré avec une racine évidente et qui saute aux yeux , généralement -2,-1,0,1,2 pas plus .
Le problème se réduit en une mise en facteurs ,ou en la résolution d'une 2ème degrè.
EX :
X3 -9X² +23 X- 15 = 0
f(1) = 0 ;
alors ;
(x-1)(x²-8x+15 ) =0
le problème se ramène à la rèsolution d'une équation du
2ème degré qui est facile à résoude. Voilà c'est simple
comme boire du thé.
(à partir du degré 7 inutile de chercher , impossible de résoudre avec radical ,c'est démontré par les mathématiciens . il faut employer l'une des autres méthodes).

Answer 5

on cherche d'abord une racine evidente de ce polynome et on aura un autre polynome dont son degre est =d°f(x)-1 c'est adire f(x)=(x-a)(ax²+bx+c ) avec a etant la racine evidente et on determine a,b,c par la methode euclidienne ou d'horner ensuite on regarde est-ce que les racines appartiennent a R OU C merci

Answer 6

oui tu as des formules (formules de Cardan) pour les degrés 3 et 4.

Pour les degrés supérieurs, on démontrze qu'il n'y a pas de formules avec des radicaux grâce à la théorie de Galois

Answer 7

C'est plutot simple je vous propose deux methode soit une substitution des inconnues d'une equation dans une autre soit un echelonnage de la matrice associe au systeme par la methode de GAUSS par example

Answer 8

Il n'existe de solutions simples pour résoudre de telles équations. On peut les résoudre dans R par des méthodes numériques par approximations.

Answer 9

Pour les équations du 3ème degré à coefficients rééls .Si l'équation a 1 ou 2 (dont une double donc) solution(s) réélle les formules dites de Cardan (en réalité découvertes par Tartaglia) donnent ces solutions avec des radicaux.S'il y a 3 solutions réelles différentes,Galois a démontré que l'on ne pouvait pas écrire ces solutions avec des radicaux.Par contre on peut bien sûr résoudre de façon approchée n'importe quelle équation du troisième degré par dichotomie .Dans la pratique on obtient la précision que l'on veut.

Answer 10

Tu peux chercher une racine évidente réelle ou complexe.
Et alors tu factorisera le polynôme de degré 3 par X-(Racine évidente).
Tu obtiendras alors un polynôme du second degré.
Et je suppose que tu sais résoudre une équation du second degré dans R et C.

Conclusion: les solutions seront la racine évidente et les racines du polynôme du second degré