Quel est le nombre minimum d'étudiants ?

Question

100 étudiants sont en train de suivre un cours à
l'université. Parmi ceux-ci 80 ont moins de 22 ans, 85
portent l'uniforme de l'école et 50 ont un ordinateur.
Quel est le nombre minimum d'étudiants ayant moins
de 22 ans, portant l'uniforme de l'école et possédant
un ordinateur ?

La réponse est bien ... réponse dans 3 heures mais vu le décalage horaire ce ne sera que dans 22 heures minimum

Answer 1

La réponse est 30.

Ca fait quelques heures que je patauge à essayer de le démontrer avec des belles maths modernes (les ensembles ou patates) sans succès.

Voici une pseudo-démonstration (un peu intuitive).

Appelons E l'ensemble des étudiants.
Appelons A l'ensemble des étudiantd de moins de 22 ans, B de ceux qui ont un uniformes et C de ceux qui ont un ordi.
On notera Card(A) le cardinal (=nombre d'élément de A).
D'après l'énoncé, on a Card(E)=100, Card(A)=80, Card(B)=85 et Card(C)=50.

On notera AnB l'intersection de A et de B.
On notera AuB l'union de A et B.
On notera A/C, l'ensemble des éléments contenus dans A mais pas dans C.

L'objet du problème consiste à trouver la valeur minimum de Card(AnBnC).

Rem : c'est plus facile à suivre en faisant des petits dessins (3 cercles qui se coupent) !!!

1ère étape.
Nous allons résoudre le problème pour un groupe d'étudiants réduits à 85. Card(E')=85.
On a alors B=E'.

Card(B) = Card(A/C) + Card(C/A) + Card(AnC) + Card(B/AuC)
Comme Card(A) = Card(A/C) + Card(AnC) et Card(C) = Card (C/A) + Card(AnC), on a :
Card (B) = Card(A) - Card(AnC) + Card(C) + Card(B/AuC)
donc : Card(AnC) = Card(A) + Card(C) - Card(B) + Card(B/AuC)

Comme Card(B/AuC) >=0, la valeur mini de Card(AnC) est Min1 = Card(A) + Card(C) - Card(B)

A.N. Min1 = 45

Etape 2 :
Nous rajoutons à la solution précédente 15 étudiants, qui n'ont ni ordi, ni uniforme et qui sont >22 ans.
Ils appartiennent à E/AuBuC.

Nous allons maintenant optimiser la situation en essayant d'enlever des étudiants de l'ensemble AuBuC tout en conservant le bon nombre dans chaque groupe.
Il suffit de prendre l'uniforme (par exemple) d'un étudiant de AnBnC et de le donner à un de E/AuBuC.
Ce qui crée un étudiant dans B/AuC (uniquement uniforme) et un dans AnC/B (<22 et ordi sans uniforme) et supprime un à AnBnC et à E/AuBuC.

On peut répéter l'opération tant qu'on a du monde dans E/AuBuC, soit 15 fois (Card(E)-Card(B)).

Au final au a Card(AnBnC) qui a pour valeur mini min2 = min1 - (Card(E)-Card(B)) = Card(A) + Card(C) - Card(E)

A.N. min2 = 30.

Remarque 1 : je sais que la démonstration est imparfaite car rien ne dit que la solution se construit à partir de l'étape2. Il faudrait soit faire une démo par récurrence sur Card(E) soit supposer que l'on a une meilleure solution (29) et démontrer par l'absurde que l'on peut remonter à l'étape 1 avec min1 = 44 donc impossible.

Remarque 2 : c'est amusant de noter que le nombre d'uniformes n'intervient pas et que seuls les 2 attributs les moins nombreux et le nombre total d'étudiants donnent la solution.

Answer 2

Je pense que bear74 a la bonne réponse :

Si 80 ont moins de 22 ans et 85 portent l'uniforme, ils sont donc au maximum 80 à avoir les deux propriétés et donc 85 - (100-80) = 65 au minimum.

A partir de ces 65, Ils sont au maximum 50 a avoir un ordinateur et donc au minimum 50 - (100-65) = 15.
Donc 15 au minimum à posséder les trois particularités.

Bear74 a donc bien raison.

Answer 3

Moi j'dirais 30

Answer 4

80 ont moins de 22 ans, 85 portent l'uniforme. Donc au minimum 65 ont les deux caractéristiques. Et au minimum 15 ont les trosi caractéristiques. La réponse est 15. C'est ça?

Answer 5

O (zéro) est le nombre minimum d'étudiants répondant à tes critères.

Answer 6

50

Answer 7

30 minimum

Answer 8

50 point final