¿Qué da una matriz elevada a una potencia? ¿Cómo se calcula?

Question

Por ejemplo : Matriz A^5

Answer 1

¡Pues otra matriz!
Multiplica la matriz por sí misma, luego, la Matriz obtenida por la primera matriz, luego el producto por otra vez la misma hasta que la hayas multiplicado por sí mismo cinco veces.
Te recomiendo que veas:
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/

Answer 2

Una matriz puede elevarse a alguna potencia solamente si es cuadrada. Al elevarla a alguna potencia, en este caso a la quinta, daría otra matriz de igual dimensión. Hay varias maneras de calcular la potencia de la matriz y la mejor forma es chequeando si la matriz en cuestión es diagonalizable. Esto quiere decir, chequear que la matriz A pueda escribirse de la siguiente manera: A = PDP(-1). Lo siguiente indica que la matriz P ( perteneciente a n x n ), esta conformada por los autovectores de la matriz A, P(-1) es la inversa de la matriz P y la matriz D ( perteneciente a n x n ), es la matriz diagonal formada por los autovalores de A. Al elevar la matriz A a la quinta, seria lo mismo multiplicar PDP(-1) * PDP(-1) * PDP(-1) * PDP(-1) * PDP(-1). quedando A = P(D^5)P(-1). Dado esto lo único que tendrías que hacer, si es que la matriz es diagonalizable, sería elevar a la quinta la matriz diagonal formada por los autovalores de A. Te recuerdo que los autovalores de cualquier matriz se calculan de la siguiente manera: A x = k x, siendo x el autovector de la matriz A y k el autovalor asociado a dicho autovector.
Si la matriz a la que le querés calcular la potencia no es diagonalizable, no te preocupes porque igualmente la matriz A puede escribirse de la siguiente manera: A = PTP(-1), siendo P la matriz perteneciente a n x n, la cual se forma por los autovectores de A con el agregado de vectores linealmente independiente ( entre sí y con los autovectores ) de manera tal que P sea cuadrada. P(-1) es la inversa de P y T es la matriz triangular superior o inferior, pero triangular al fin, tal que esta está formada por los autovalores de A ( en la diagonal, aunque no la completa ) y algunos otros números que se obtendrán posterior al cálculo.
De todas maneras, generalmente lo último que debes hacer es el producto matricial, dado que esto puede conllevar a los errores de cuenteo. Es por eso, entre otras cosas, que existe el método de los AVAS y AVES ( autovalores y autovectores ).
Si no tenés en claro el producto matricial, te dejo un ejemplo: sea A penteneciente a 3 x 3, hallar A^2.

.......(1 0 2)
A = (0 5 3)
.......(0 0 1)

...........( 1 0 2 ) ( 1 0 2 )
A^2 = ( 0 5 3 ) * ( 0 5 3 )
...........( 0 0 1 ) ( 0 0 1 )

..............(1 0 4 )
...A^2 =..(0 25 18)
..............(0 0 1)
Lo que se hizo en el producto matricial fue seleccionar la primera fila de A y multiplicarla con la primer columna de la matriz A, con el producto interno canónico, es decir (a, b, c) * (a, b, c) = a*a + b*b + c*c. La suma de dicho producto se representa en la posición a11 de la matriz, en este caso el primer uno de la matriz del resultado. Posterior a esto se continua con la primera fila, con la segunda columna, hasta llegar a la última, representado los resultados en las posiciones a12, a13. Luego se prosigue con la segunda fila, haciendo el producto interno canónico con las primera, segunda y tercera columna. Esto se hace hasta terminar con todas las filas de la matriz.

Espero que te sirva.

Answer 3

multiplica "A" por "A" tantas veces lo indique la potencia y al final obtienes otra matriz

Answer 4

una matriz elevada a una potencia da un chorro de hijos.......... Mentira hablando en serio siemrpe que sea cuadrada te dara unidad, o sea otra matriz. saludos

Answer 5

Una matriz elevada a una potencia da otra matriz (siempre y cuando la matriz sea cuadrada, si no, no se puede resolver). La matriz resultado se obtiene multiplicando la matriz por sí misma tantas veces como indique el exponente (como una potencia de un número cualquiera).
Es decir, para A^5 multiplicas AxA, el resultado lo multiplicas de nuevo por A, ese resultado otra vez por A, y por último, el resultado otra vez por A.