acertijo matemático: la dama del lago (gana quien acierte primero)?

Question

Una joven damisela estaba de vacaciones en el Lago Circular, un gran estanque artificial llamado así por su forma perfectamente redonda. Para escapar de un hombre que la perseguía montó en un bote y remó hasta el centro del lago, donde estaba anclada una balsa. El hombre decidió esperarla en la orilla, sabiendo que tarde o temprano tendría que salir a tierra firme. Puesto que él podía correr a una velocidad cuatro veces superior a la que ella podía remar, supuso que sería sencillo atraparla tan pronto como el bote tocase la orilla del lago.
Pero la muchacha, licenciada en Matemáticas, reflexionó sobre el problema. Sabía que una vez en tierra firme podía correr más deprisa que el hombre; bastaba con idear una estrategia para llegar remando a la orilla antes que él. Pronto encontró un plan sencillo y sus matemáticas aplicadas la salvaron.
¿Cuál fue la estrategia de la muchacha?
(Se supone que ella conoce en todo momento su posición exacta en el lago)

Answer 1

Si desea escapar del lago lo más rápido que pueda, debería hacer lo siguiente:
Primero rema de manera que el centro del lago, indicado por la balsa, quede siempre entre ella y el hombre de la orilla, haciendo que los tres puntos se mantengan en línea recta. Al mismo tiempo se mueve hacia tierra firme. Suponiendo que el hombre sigue la trayectoria óptima, es decir la de corres alrededor del lago siempre en la misma dirección, con una velocidad cuatro veces superior a aquella a la que rema la joven, el camino óptimo de ésta es un semicírculo de radio r/8, siendo r el radio del lago. Al final de esta semicircunferencia, habrá alcanzado una distancia de r/4 medida desde el centro del lago. Este es el punto en el que la velocidad angular que debe mantener para conservar al hombre enfrente de ella es igual a la de éste, no dejando energía de reserva a la joven para escapar. (Si durante este período el hombre cambiara de dirección, ella puede seguir una estrategia igual de buena o mejor, invirtiendo especularmente la trayectoria). Tan pronto como la muchacha alcanza el extremo de la semicircunferencia, se dirige en línea recta al punto más cercano de la orilla. La distancia a recorrer será 3r/4. El hombre tiene que recorrer una distancia de veces r para atrapar a la joven cuando llegue a tierra. Ella escapa, puesto que cuando alcanza la orilla él ha recorrido una distancia de solamente 3r.
Si lo que prefiere es alcanzar el muelle en el punto más alejado del hombre que la persigue, en este caso su mejor estrategia tras haber alcanzado el punto situado a una distancia r/4 del centro del lago, es remar siguiendo una línea recta tangente al círculo de radio r/4, moviéndose en dirección opuesta a la del hombre.

Un saludo

Answer 2

Por cada metro que avance el bote el hombre avanza 4 metros.
Como la mujer al remar siempre mira hacia la parte de atrás del bote, debe mirar siempre la posición del hombre y remar hacia la costa opuesta manteniendo al hombre siempre apuntado con la popa del bote. Así corra para la derecha o izquierda ella debe girar para mantenerlo siempre en la misma posición relativa.
Nunca podrá alcanzarla.

Answer 3

Yo hago una pregunta? la idea no es que ella escape?
Si ella comienza a remar en forma de espiral se cansara mucho mas rapido. Consideremos que es mujer, es mucho mas debil que el hombre. Si el lago es pequeño el trote no le afectara en nada al hombre, pero el remar si le afectara a ella. Aqui entra la fisica, fuerzas aplicadas, accion y reaccion y el desgaste de la damisela. Ademas cuando este bastante cerca de los extremos del lago se le complica la situacion porque sera relativamente predecible que el hombre sepa por cual extremo saldra.
Creo que si fuese matematica hubiese considerado estos factores, mas la fuerza del viento para saber hacia que extremo remar, con el fin de minimizar el tiempo en llegar hacia la orilla.
Tratar de buscar un ruta de peso minimo es algo ilogica porque esta en el centro del lago, asi que todas las distancias son iguales.
Lo que me suena mas logico es aplicar rutas perpendiculares, siempre teniendo en cuenta la orientacion del hombre con el fin de cansarlo. Y tratar de hallar una ruta minima con eso. Y arriegarse con un salto cuando le falte poco para llegar a la orilla

Answer 4

lo explicaria bien con diagramas y dibujos, pero es dificil hacelo aqui.
Lo hace de la siguiente manera:
-Si el bote esta al centro y el ladron esta al norte.
-Ella comienza a remar hacia el este (asi el hombre comienza a correr hacie el este, por es lo mas logico para el)
-pero inmediatamente cambia de direccion hacia el sur-este
-y despues al sur
-despues al sur-oeste
-despues al oeste
-despues norte-oeste
-despues norte
-despues norte-este
y asi....

asi ella cada vez se acerca mas a la orilla muy lentamente.
pero de esta forma, la distancia que hay entre ella y el hombre permanece constante (en este caso distancia r = radio de la circunferencia) e incluso si ella es buena remadora y logra saber cambiar de direccion armonicamente puede aumentar la diferencia de distacia superando la distancia r.

Si uno observa el movimiento del bote desde arriba, uno se da cuenta que la estela que deja el bote en el agua da forma a una especie de concha de caracol.

esto es posible porque si ella conoce la posicion de su bote. puede determinar la distacia que hay del bote a la orilla y del bote hacia el centro del lago. De esta manera ella sabe en que momento debe de cambiar la direccion del bote.

Repito, si tubiera un diagrama o dibujos seria mucho mas facil explicarlo

Answer 5

Remando en espiral hacia la orilla...de esa forma se cansará más, pero el hombre no sabrá para donde tirará la chica

Answer 6

Supongamos que el lago tiene un radio (distancia del centro al borde) de 2 km
Entonces el perimetro total del lago seria 12.5 km aprox por lo tanto el hombre va a estar a 6.25 km del punto opuesto del lago
Por lo que si la dama se pone a remar en linea recta opuesta a la ubicacion del hombre.. cuando llegue a la orilla el hombre va a estar esperandola.
Asi que la dama tendra que remar en sentido opuesto al hombre.. y en cuanto el hombre empiece a correr al otro extremo la dama dejara de hacer una trayectoria recta y pasara a ser una trayectoria curva siempre en sentido opuesto al hombre claro, de este modo el hombre va a estar acercandose por el perimetro del circulo, y la dama haciendo su trayectoria curva lograra escaparse.

Answer 7

Pues la respuesta acertada es la de Checho....
No hay duda que si ella rema en dirección a su espalda y siempre esta mirando al hombre, este siempre va a estar a una distancia mayor que el radio del lago, de tal manera que cuando ella llega a la orilla, el hombre se encuentra al otro lado del lago, es decir a 2 veces el radio o entiendase el diámetro de la circunferencia del lago...

Answer 8

y por que si la fulana era tan lista y toda la cosa, lo digo por eso de que era matematica, por que diablos se fue la idiota a el lago sabiendo bien que ella era mas rapida que el viejo rabo verde. No era mas logico que desde un principio ella saliera corriendo despavorida, al fin y al cabo, por lo visto ella era toda una velocista, por que para que una mujer sea mas rapida que un hombre, y aparte el hombre sea un caliente desesperado, pues esta cañon. Lo mas listo que pudo haber hecho era irse directo a el lago, esperar a que el hombre ese la persiguiera hasta alla, y una vez alli correr rapido hacia atras y empujar al fulano al lago, asi ella podria echarse a correr y punto, asi de facil, de que le sirvieron la matematicas, si a la hora de la hora iba a meterse ella sola en problemas yendo hacia el lago, jajaja.

Answer 9

esta muy bien lo de remar en circulos, pero no se cansara la dama de remar????????????????????????

Answer 10

Saca el movil y llama a la policia "agente, que hay un violador esperándome en la orilla, vengan a rescatarme que soy matemática y no se remar" y listo :P