Topología y más?

Question

A quién pueda contestar preguntas como:

1) Por qué el conjunto vacío es conexo, si lo puedo expresar por unión de conjuntos abiertos disjuntos? Por qué es cerrado y abierto al mismo tiempo?
2) Qué conjunto tiene más elementos, N o Z?
3) Cuándo un axioma es independiente del resto del sistema axiomático?

o similares, lo espero en para mantener discusiones de matemática a un buen nivel
en el grupo
http://groups.yahoo.com/group/CalculusRocks/

A aquellas personas que quieran ganar 2 puntos contestando una tontería, por favor, tengan un poco de vergüenza, hay miles de preguntas por ahi. Estas son preguntas serias, dirigida a matemáticos, no a estudiantes de escuela.

A propósito, a los que contesten, sería bueno que se presentaran, diciendo de dónde son.

También uso el nick ilusionflores, me asocié con este distinto por que tengo un número limitado de preguntas que puedo responder por día y no me gusta un "no" por respuesta.

Saludos a todos

Ana Flores

Gracias por entender que esta no es una pregunta en sí, sino una invitación a aquellas personas que tengan el nivel matemático como para participar de un grupo de discusión de buen nivel.

Answer 1

Y que más citas del gran Sr. Einstein, vas a sacar, que acaso no eres original????
Deberías saber que el principio de autoridad, en las ciencias, no sirve, quizás te funcione en la Política o en el Derecho; pero en las ciencias, existen pruebas, demostraciones y evidencias.
Con esas respuestas "muy adecuadas", sólo demuestras ser una persona demasiado "cuadrada", con razón y eres matemática.

Answer 2

respuestas a las preguntas:
1) el vacio es abierto, por definicion de topologia. Es decir, una topologia es una coleccion de conjuntos (que llamamos abiertos) con varias propiedades, entre las cuales estan que el total y el vacio sean parte de esta coleccion.
el vacio es cerrado, porque es el complemento de un conjunto abierto, es decir, es el complemento del total.
para que un conjunto sea no conexo, se necesita que haya dos conjuntos abiertos NO VACIOS, cuya interseccion sea vacia. Asi pues el vacio no puede ser no conexo, porque los abiertos de los que estas hablando son el vacio mismo.
2) los naturales N y los enteros Z tienen la misma cantidad de elementos, aunque definitivamente N esta contenido en Z.
Pero el punto es que hay una biyeccion entre ellos, y eso establece que su cardinalidad es la misma.
3) un axioma es independiente de otros axiomas, cuando no puedes demostrar el nuevo axioma usando solo los anteriores.

Yo me llamo Lola, y soy del DF, y tengo un doctorado en matematicas, mi especialidad es topologia diferencial con aplicaciones a geometria (diferencial).

Answer 3

1) un conjunto es conexo si y solo si dados dos elementos del connjuto, existe un arco de una funcion continua que une los dos elementos, y que esta completamente incluido en el conjunto. Como en el conjunto vacio, no podes tomar esos dos elementos, el antecendente es falso, con lo cual la proposicion es verdadera.
1') Es cerrado, porque su complemento es abierto. (teorema antes demostrado), de la misma manera, se puede demostrar que su complemento es cerrado, por lo tanto, Vacio es abierto.
2) Los dos conjuntos tienen el mismo cardinal, se puede definir una funcion biyectiva entre los dos conjuntos, por lo tanto son equinumerables.
3) Un axioma debe ser independiente del resto del sistema axiomatico, sino seria un teorema, un lema, un corolario, o una falsedad. Cosa que no se quiere.

Answer 4

Dijo Einstein: "Sólo hay 2 cosas infinitas: el universo y la estupidez humana, pero de la primera no estoy segura". Cuando uno contesta una pregunta, (y esto va dirigido a la persona que respondió sobre pedir que me hagan las tareas en la facultad de Ciencias) sería importante que uno demuestrara que por lo menos sabe leer su propio idioma (y que, además, entiende lo que lee)...

A los demás que puedan haber llegado hasta aquí: estas no son preguntas que necesiten Uds contestar. Es una invitación para aquellas personas que estén en posibilidades de hacerlo, o casi

Gracias a Efren por su respuesta tan buena.

Ana Flores

Answer 5

Hola Ana:

1.- (a) El conjunto vacío es conexo, por definición de conexidad, pues no puede ser escrito como unión de conjuntos disjuntos y no vacíos (ya ni preocuparse por si pueden ser obtenidos como intersección con abiertos); no hay contradicción con lo que indicas, pues si bien el vacío es abierto y es disjunto con él mismo, no cumple con la definición.
(b) Los axiomas de la topología referentes a la cerradura bajo uniones arbitrarias y bajo intersecciones finitas hacen conveniente incluir al total y al vacío, así que por axioma se incluyen a estos conjuntos: luego ambos son abiertos, luego ambos son cerrados (pues uno es complemento del otro).

2.- N y Z tienen la misma cantidad de elementos y la prueba es una de las clásicas de Cantor.

3.- ¡Ups!, no estoy seguro de cual es la respuesta a esto; creo que es cuando el axioma de verdad lo es, es decir, no es un teorema que se pueda obtener de los demás axiomas: tendré que leerlo.

Bueno, luego visito el link que mencionas.