¿Qué es la geometria de Riemmann?

Question

He oido hablar de lla, y sé que es para más de tres dimensiones pero en qué consiste?

Answer 1

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en el cual cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

El producto interior en Rn (el producto escalar euclidiano familiar) permite que se defina longitudes de vectores y los ángulos entre los vectores. Por ejemplo, si a y b son vectores en Rn, entonces a² es la longitud al cuadrado del vector, y a * b determina el coseno del ángulo entre ellos (a * b = ||a|| ||b|| cos θ). El producto interior es un concepto del álgebra lineal que se puede definir para cualquier espacio vectorial. Desde el fibrado tangente de una variedad diferenciable (o de hecho, cualquier fibrado vectorial sobre una variedad) es, considerado punto a punto, un espacio vectorial, puede llevar también un producto interior. Si el producto interior en el espacio tangente de una variedad se define suavemente, entonces los conceptos que eran solamente punto a punto definido en cada espacio tangente se pueden integrar, para rendir nociones análogas en regiones finitas de la variedad. En este contexto, el espacio tangente se puede pensar como traslación infinitesimal en la variedad. Así, el producto interno en el espacio tangente da la longitud de una traslación infinitesimal. La integral de esta longitud da la longitud de una curva en la variedad. Para pasar de un concepto algebraico lineal a uno geométrico diferencial, el requisito de suavidad es importante, en muchos casos.

Cada subvariedad diferenciable de Rn tiene una métrica de Riemann inducida: el producto interior en cada fibra tangente es la restricción del producto interno en Rn. De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerar de esta manera. En particular uno podría definir la variedad de Riemann como un espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de Rn con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la geometría de Riemann.

Una variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una sección diferenciable de formas cuadráticas positivo-definidas en el fibrado tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser convertido en un espacio métrico:

Si γ: [a, b] → M es una curva continuamente diferenciable en la variedad de Riemann M, entonces se define su longitud L(γ) como


(nótese que el γ'(t) es un elemento del espacio tangente a M en el punto γ(t); ||.||denota la norma resultante del producto interior dado en ese espacio tangente.)

Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa M se convierte en un espacio métrico (e incluso un espacio métrico con longitud) de un modo natural: la distancia d(x, y) entre los puntos x y y en M se define como

d (x, y) = inf { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a x y y }.

Aunque las variedades de Riemann son generalmente "curvas", no obstante, hay una noción de "línea recta" en ellas: la geodésica. Éstas son las curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de las trayectorias más cortas.

Answer 2

Amiguita, eso es algo organic, es una forma de molestarte, no caigas en tentaciones de demostrar nada y mucho menos te enojes, te lo digo por experiencia, si ven que te enojas y les prestas atención, más se ensañan contigo.

Answer 3

la geometria riemanniana es la que estudia las variedades con una metrica.
esta metrica nos permite medir la curvatura de las variedades.
por ejemplo, en dimension dos, tenemos la esfera, el toro (la superficie de una dona), y variedades con mas oyos (la superficie de varias donas pegadas), la curvatura de cada una de esas es:
positiva, para la esfera, cero para el toro, y negativa para las otras variedades.
Hay muchos tipos de problemas que se pueden plantear, por ejemplo, dada una curvatura, existe una unica variedad? dada una variedad, se le pueden poner diferentes metricas de tal forma que la curvatura tenga distintos signos?etc etc

Answer 4

Esta tesis doctoral Foundations for a General Theory of Functions of a Complex Variable (Fundamentos para una teoría general de funciones de variables complejas), presentada en 1851, constituyó una extraordinaria aportación a la teoría de funciones. La importancia de la geometría de Riemann radica en el uso y extensión de la geometría euclídea y de la geometría de superficies, que conduce a muchas geometrías diferenciales generalizadas. El efecto más importante de estas investigaciones fue que logró una aplicación geométrica para algunas grandes abstracciones del análisis de tensores, que conducía a algunos de los conceptos que utilizó más tarde Albert Einstein al desarrollar su teoría de la relatividad. La geometría de Riemann también es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general.

Answer 5

Es una geometría no euclidea que se usa sobre todo, en teoría de la relatividad. Ya recibiste una muy completa respuesta.

Saludos

Ana