Existe-t-il dix nombres entiers naturels différents dont la somme des inverses est 1 ?

Question

Je souhaite une réponse justifiée!
pour fabinou22 ta remarque est fausse (c'est une aide!)

Kabylie:tu as tort déjà 1/2 + 1/3 + 1/4 dépasse 1 (et il n'y a que 3 nombres)

Pas besoin de logarithmes.Le programme de quatrième suffit.

Pour Zenith je suis agrégé de mathématiques.Je trouve curieux que quelqu'un qui confond inverse et opposé (on apprend cela en cinquième voire en quatrième) dise que je n'y connais rien en mathématiques!
pour fabynou22 ta solution est encore fausse,la solution est beaucoup plus simple et je le répète ne demande que les connaissances d'un élève de quatrième (donc pas besoin de nombres premiers).
Si personne ne trouve,je donnerai une aide ce soir.Promis!

Answer 1

a l'évidence 1/2+1/3+1/6=1
ensuite 1/2+1/2(1/2+1/3+1/6)=1/2+1/4+1/6+1/12=1
etc.. 1/2+1/2(1/2+1/4+1/6+1/12)=1

par ce procédé de construction on est assuré de ne jamais introduire de numérateur déja rencontré.. on s'arrete quand on en a 10..

Answer 2

zenith u're right tu as raison premierement la preuve c'est qu'il y a qlq un qui a dis 1/2 et il n'a meme pas figure' qu'il sagit des nombres naturels pas reel, so anyways i do love maths too and i love questions well asked.

Answer 3

Je la trouve bien posée au contraire, le but est de savoir si on peut trouver 10 nombres entiers différents (appelons les a, b, c, d ...) dont la somme de leur inverses fait 1: 1/a + 1/b + 1/c ... + 1/j = 1

-N n'est pas l'inverse de N mais son opposé.

Answer 4

je ne connais pas la réponse, mais voici des sites pour les amateurs de maths.

http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/

http://www.ilemaths.net/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://carredas.free.fr/

http://www2.educnet.education.fr/maths/

Answer 5

Oui, ç a y est c'est encore plus simple que je ne le supposais au départ !! Et dire que je començais à penser à des équivalences de sum{k app. |N | k premier}...

C'est de l'arithmétique élémentaire ! Démonstration très détaillée :
Soit P un ensemble fini non nul de nb premiers. Alors si |P|>1, la somme de leurs inverses est N/D où D vaut le produit des nb de P et N la somme des |P| distincts produits de tous les éléments de P sauf d'un (par simplification d'une somme de fractions !). Si |P|=1, la conclusion est évidente mais peu importe, c'est |P|=10 qui nous intéresse.
Maintenant, montrons que quelque soit P, N/D est différent de 1. Pour cela, il suffit de voir que N n'est divisible par aucun élmt de P et donc que N diffère de D.
Soit p app. à P. Alors p|prod{k app. P | k diff. p'} pour tout p' de P\{p} (puisque l'un des "k" vaut p). Et donc p divise la somme S de ces |P|-1 produits. Par-contre p ne divise pas prod{k app. P | k diff. p}. D'où p ne divise pas la somme totale St de ces |P| produits : on s'en convaint facilement par l'absurde : si p|St, comme p|S alors p|(St-S), or St-S=prod{k app. P | k diff. p} d'où contradiction. Enfin par définition de St, St=N (vu plus haut). D'où N diff. D (puisque p|D). D'où la somme est différente de 1 et ce, que |P| vale 10 ou non (c'était une bonne idée pour brouiller les pistes !). C.Q.F.D.


1 heure plus tard : Arggh, il y a plus simple !!
On utilise tout de même les N et D définis plus haut, où N/D=sum{1/p | p app. P} avec |P|=10. De deux choses l'une :
1) Soit 2 app. à P et alors D est pair et N est impair : en effet, les prod{k app. P | k diff. p} où p app. à P mais diff. de 2, sont pairs tandis que prod{k app. P | k diff. 2} est impair _un produit de nb impairs est impair_ et donc la somme de tout ça (N) est impaire.
2) Soit 2 n'app. à P et alors D est impair et N est pair : en effet, tous les prod{k app. P | k diff. p} où p app. à P, sont impairs et donc leur somme (N) est paire _la somme d'un nb pair de nb impairs est paire.
Dans tous les cas, N diff. de D, CQFD
(cette démo n'est valable que losque |P| est pair par-contre !)

Answer 6

50-25-24-21-11-10-9-6-2-1 = 1

Answer 7

oui

Answer 8

Inverse pour quelle opération ?

Pour l'addition, l'inverse d'un nombre N est -N
Pour la multiplication, c'est 1/N
Pour la puissance X, c'est racine Xième

Ta question n'est pas assez précise.

Comme souvent ici, ou les questionneurs ne connaissent rien aux mathématiques.

Answer 9

oui bien sûr!

Answer 10

Pitié pas à cette heure ci !