Schneiden sich parallele Geraden in der Unendlichkeit??

Question

Und wenn ja, wie oft? Einmal? Unendlich mal?

Answer 1

Hallo Du!
Also, jetzt mal, wie es tatsächlich ist:
Du musst unterscheiden zwischen der euklidischen Geometrie und den Nichteuklidischen Geometrien.
In der euklidischen Geometrie schneiden sich zwei Parallelen nie und haben einen konstanten Abstand zueinander.
Wenn Dich im Übrigen das Bsp. mit den windschiefen Geraden verwirrt hat: windschief gibt es erst in drei(oder mehr) dimensionalen Räumen.
In den Nichteuklidischen Geometrien gibt es zwei Möglichkeiten:
1.)Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele, zwei verschiedene Geraden schneiden sich also immer (elliptische Geometrie genannt, in diesem Fall ist übrigens die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°)
2.)Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen (hyperbolische Geometrie, die Winkelsumme eines Dreiecks ist kleiner als 180°)
Das bedeutet aber in diesem Fall nur, dass sich zwei Geraden nicht schneiden, aber sie haben nicht einen konstanten Abstand zueinander wie Parallelen in der Euklidischen Geometrie, entspricht also nicht dem Parallelaxiom wie Du es kennst.
Das ist jetzt wahrscheinlich alles sehr verwirrend, da es auch ein sehr komplexes Thema ist.Die Euklidische Geometrie wird in der Schule gelehrt und ist im Alltag ausreichend. Die Nichteuklidischen Geometrien haben besondere Bedeutung in der Theoretischen Physik, da der uns umgebende Raum ja tatsächlich gekrümmt ist (s.a. Relativitätstheorie)

Die euklidischen Geometrien stellen mathematische lediglich ein anderes Axiomensystem als die euklidische Geometrie dar (das ist einfach ein Raum, in dem bestimmte Aussagen Gültigkeit haben), und zwar ein System, in dem das sogenannte Parallelenaxiom aus der Euklidischen Geometrie nicht gilt. Vielleicht kennst Du die Mengenlehre, das ist auch ein Axiomensystem.

Wenn Du Dich fragst, was das alles soll, und Dich jetzt fragst, wie es denn nun wirklich in der Realität ist, dann kann ich Dir sagen, dass bis heute sehr heiß diskutiert wird, ob unser Universum im Großen hyperbolisch, euklidisch oder elliptisch ist.
Man ist sich halt noch nicht sicher, wie auch mit dem Licht, kennst Du vielleicht aus dem Physikunterricht, mal verhält es sich wie eine Welle, mal wie ein Quant (Quantenphysik)
Nicht erschrecken, so ist die Wissenschaft halt... :-) Die wissen auch nicht viel mehr, eigentlich noch viel weniger, weil sich um so mehr sie wissen und erfahren um so mehr Fragen stellen! lol

Nun denn, wenn Du so willst, ist die Antwort auf Deine Frage tatsächlich ja und nein. :-)
liebe Grüße,
Petra

Zusatz: zu manch anderen Erklärungsversuchen hier. mit einfachen Beispielen und der erlebten Realität hat das leider nichts zu tun. Man erlebt ja auch nicht wirklich die Dimension der Raumzeit. Die Dimension Raum ist vorstellbar aber die Raumzeit? Nur weil der Mensch dafür nicht angelegt ist, heisst das nicht, dass es die nicht gibt. Früher erlebten die Menschen die Erde als Scheibe... Was ich sagen will ist, dass man hier mit der alltäglichen Vorstellungskraft und Logik zwangsläufig scheitern muss, die Mathematik geht darüber hinaus und was mit der nicht euklidischen Geometrie berechnet wird geht mit sicherheit über das menschliche Vorstellungsvermögen (Genies mal ausgenommen) hinaus. Aber das heisst nicht, dass sich 2 Parallele nicht schneiden können. Man muss dabei wissen, dass die herkömmliche Parallele (euklidisch) eben so definiert wird:
(Gefordert soll sein, dass) "…wenn eine Gerade [g] beim Schnitt mit zwei Geraden [h und k] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [α und β] zusammen kleiner als zwei rechte Winkel werden, dann die zwei geraden Linien [h und k] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von g], auf der die Winkel [α und β] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind."
Das ist das Prallelenpostulat der euklidischen Geometrie. Da diese auch nicht mehr als ein Axiomensystem ist, kam man irgendwann man auf die Idee, diese auch abzuwandeln, allein im Interesse der vielleicht Vollständigkeit der Mathematik und nicht um unsere Realität zu beschreiben. Es zeigte sich jedoch, dass die nicht euklidischen Geometrien der Physik und Realität des Weltalls weitaus näher kommen als die euklidischen.

Man darf aber bei beiden nicht vergessen, dass sie die Realität nicht erklären, sondern BESCHREIBEN!
Also meinetwegen auf der Erde nein, im Weltall ja...

@Lisa: Leider ist das so nicht korrekt was Du schreibst über die Relativitätstheorie und wenn man es nicht genau weiß, sollte man so etwas nicht behaupten finde ich. Vielleicht meinst du auch in der Relativitätstheorie ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten eine Gerade, oder? Wäre aber falsch, ist nämlich eine gekrümmte Kurve, Geodäte.
Wenn Du mir nicht glaubst, dann erkundige Dich mal über die Riemannsche Geometrie/Mannigfaltigkeit) und ihre Bedeutung in der Relativitätstheorie.
Die mathematische Definition der Parallele hat eben nichts mit den eigenen Gedanken zu tun. Und wenn man es doch so versuchen will:
Du meinst wenn Parallelen gekrümmt sind, sind sie nicht mehr parallel. Aber was ist in einem gekrümmten Raum? Da können Parallele nicht nicht gekrümmt sein.Da sieht man, dass man mit Alltagslogik nicht weiterkommt.

Answer 2

Ich meine mich zu erinnern, daß sie sich in der Unendlichkeit schneiden können.

Wenn ich darüber nachdenke, macht es sogar Sinn.

Aber nur wenn ich von der Annahme ausgehe, daß sie sich in der Unendlichkeit schneiden, weil dann kann ich auch annehmen, daß sie an irgendeinem Punkt vorher unendlich exakt parallel verlaufen.

Richtig?

Answer 3

Das kommt darauf an wie scharf die Messer sind die sie dabei haben , in der Unendllichkeit.ZWINKER.

Answer 4

Zwei parallele Geraden können sich in unendlichem Abstand schneiden.

Nimm zwei Punkte im Abstand von 5cm. Duch beide Punkte lässt du eine Gerade gehen, und zwar so, dass sie sich schneiden. Die Geraden sind jetzt nicht parallel. Den Schnittpunkt nimmst du jetzt in die Hand, und schiebst ihn weiter weg. Die beiden Geraden sind in den ursprünglichen Punkten drehbar festgemacht. Je weiter du den Schnittpunkt weg schiebst, um so kleiner wird der Winkel zwischen den Geraden. Der Abstand von 5 cm bleibt aber an der Stelle, wo die Geraden an den Punkten fest sind. Wenn du den Schnittpunkt 10 Meter weit weg schiebst, sind die Geraden fast parallel. Schiebst du den Schnittpunkt unendlich weit weg, dann sind die Geraden parallel. Und schneiden sich trotzdem. Aber nur auf einer Seite.

Answer 5

wenn sich Parallelen im Unendlichen schneiden, dann kann nach
unendlich langer Zeit auch wahr sein, was heute falsch ist - oder
falsch sein, was heute wahr ist.

wenn heute gilt "1+1=2", dann gilt das morgen exakt genauso, ohne jede Abweichung.
2 parallele Geraden sind ebenfalls nach einem Tag noch parallel.
Sowohl zeitlich betrachtet, wie auch räumlich, wenn man die
Lichtgeschwindigkeit als Maßstab nimmt und als Entfernung somit einen Lichttag.
Wenn nach unendlicher Entfernung sich nun die Parallelen schneiden, muss auch nach unendlich langer Zeit die Gleichung "1+1=2" falsch werden. Das gebietet die Logik!

Answer 6

Auch in Einstein´s Theorie von Krümmung in Zeit und Raum schneiden sich die Parallelen nie...

Der Zusammenlauf paralleler Schienen in der Ferne ist nur eine optische Täuschung und nichts weiter!

Eine Parallele ist eine Parallele, sonst gäbe es ja nichts, was parallel zueinander laufen könnte. Es sei denn, eine winzige, kaum wahrnehmbare Krümmung in der Parallele (zueinander) würde diese Parallele zu einer Nicht-Parallele machen, weil sie sich in unendlicher Ferne vereinigen würde...

Stellt sich die Frage:
Ab welchem Krümmungsgrad ist eine Parallele noch eine Parallele?

Deswegen können zwei Parallelen ansich nur unendlich parallel zueinander laufen, weil es sonst eben keine Parallelen mehr wären...

Answer 7

lol, wieso gerade in der Unendlichkeit. Parallelen schneiden sich nicht, egal was du machst.

Answer 8

nein, weil......

Answer 9

Also meines Wissens nach können sie (die Parallelen) sich nur in der euklidischen Geometrie nicht schneiden. In anderen Geometriewelten können sie sich aber schneiden.

Answer 10

Seht Ihr?? Ich habe IMMER behauptet, Mathematik habe nichts mit Logik zu tun. Der Einzige, der es mir NICHT abgenommen hat, war mein Mathelehrer.....

Gruß an alle Übereifrigen