Trouver une equation pour un nuage de points?

Question

Bonjour à tous et bonnes vacance pour ceux qui y sont.

Voila mon problème :

Je souhaiterai trouver une fonction qui définisse le nuage de point suivant sur l’intervalle [0,15].

X_Y
0_1.523
0.1_1.353
0.2_1.217
0.3_1.148
0.4_1.120
0.5_1.107
0.6_1.100
0.7_1.097
0.8_1.095
0.9_1.095
1.0_1.095
1.1_1.095
1.2_1.096
1.3_1.097
1.4_1.097
1.5_1.098
1.6_1.099
1.7_1.100
1.8_1.101
2.0_1.102
2.2_1.104
2.5_1.106
3_1.108
3.5_1.110
4_1.112
5_1.115
7_1.118
10_1.120
15_1.127


J’aimerai que cette fonction soit le plus précis possible (de l’ordre de 1 à 2 % de différence entre les points définis pas l’équation et les points de mon nuage). Le passage par les points x=15 y=1.127 et x=0 y=1.523 est obligatoire

Est-ce que cet objectif est réalisable ? Est-ce que quelqu’un peut m’aider à trouver cette fonction ?

Je vous remercie pour avoir prêter attention à mon problème et un grand respect aux petits ce

Answer 1

Visiblement, ton nuage de point s'obtient en superposant 2 courbes exponentielles (une décharge et une charge de condensateur, si ça t'éclaire un peu). Je te propose donc le modèle suivant :

y(t) = (Ui - Uref)*exp(-alpha*t) + (Uref - Uf)*exp(-beta*t) + Uf

En t = 0, tu as y(0) = Ui - Uref + Uref - Uf + Uf = Ui, donc Ui = 1.523. Il reste à trouver Uref, alpha, beta et Uf... Comme je suis pas un chacal, je te donne des valeurs qui vont bien (obtenues par essais/corrections - à toi de voir si y'a besoin de retoucher) :

Ui = 1.523 (valeur initiale souhaitée)
Uref = 1.085 (un offset commun aux 2 exponentielles)
Uf = 1.127 (valeur finale souhaitée)
alpha = 7 (le coeff de décroissance de la 1ère exponentielle)
beta = 1/4 (le coeff de croissance de la 2è exponentielle)

Le modèle passe exactement par y = 1.523 en x = 0, par contre, en x = 15, tu obtiens y = 1.1260 au lieu de 1.1270. Cela dit, l'erreur quadratique moyenne (moyenne de la différence au carré de la sortie du modèle et des points de ton nuage) est quasiment nulle (1.0470e-004 exactement)!!!

Answer 2

ils uffit d'utiliser excel, parce qu'à main, tu auras besoin d'un polynôme d'ordre n-1 avec n le nombre de points que tu as sur ta liste. Et pour trouver les coéfficients, ce n'est évidents à main, à moins que tu utilises un programme d'interpolation adéquat.

Answer 3

Utilises effectivement une régression linéaire (t'occupes pas des mecs qui te racontent les histoires de spline cubiques c des conneries qui te servent a rien) et étant donnée que tu dois la faire passer par des points obligatoirement, cela s appelle une régression linéaire forcée.

Answer 4

Tu peux faire une interpolation de Lagrange

Answer 5

Si tu as n points (29 ici), tu peux trouver un polynôme de degré n-1 (donc 28) et un seul, qui passe par tous ces points.
Il suffit pour cela de résoudre un simple système linéaire.

Attention toutefois, le polynôme que tu auras trouvé divergera très rapidement hors de l'intervalle considéré (et ce d'autant plus rapidement que son degré sera grand...)

Sinon tu peux trouver un polynôme de degré moindre ou une autre fonction plus simple permettant d'approcher au mieux tes points, mais on t'a déjà bien rensiegné à ce sujet.

Answer 6

je vois deux solution rapide :

la bourin : polynome d'interpolation de lagrange...
la plus rafinee : interpolation par des spline cubique

si tu veux plus de details : wikipedia est ton ami, sinon j ai tjrs un vieux cours d analyse numerique qui traine

Answer 7

sinon tu as la droite de regression par la méthode des moindre carrés avec une calculatrice graphique...tu rentres les chiffres dans les tableaux de stat et tu calcules ensuite la droite qui s'appelle lingreg sur la calculatrice (enfin ça dépend laquelle)

pour moi ça donne y=ax+b où a= -0,0046086937 et b= 1,144262064

voilà ce que ça donne pour moi mais vérifie car je trouve des trucs bizarres, il se peut que j'ai fait une faute de frappe, et puis il se peut que ce ne soit pas la bonne méthode non plus mais avec un logiciel ça devrait aussi marcher...

Answer 8

J'ai un truc de bourrin mais qui marchera :

tu as 15 couples X,Y
tu veux une fonction qui passe par tous ces points
Je te conseille un polynome de degré 14 (15 inconnus : ce qu'il faut)

soit P(x) ce polynome

Il te suffit de résoudre le systeme :

P(x1) = y1
P(x2) = y2

etc...

Un logiciel comme Maple pourra t'etre fort utile.
ne fait pas ça avec une calculette qui utilise des flottants, meme double précision, car avec les x^14, tu risques beaucoup d'incertitudes...

Answer 9

l'exel le fait facilement, et en plus tu a le choix du type de fonction, polynome....etc, il y a le Maple, le Matlab...etc

Answer 10

je propose une méthode de Runge Kutta d ordre 2. Par contre je suis pas sur de la stabilité..