pourquoi dans l'addition, 9 compte pour 0?

Question

j'ai remarqué que si on additionne les chiffres composant un nombre, ex: 32668991, sans faire mentalement une longue addition, la réponse est 8. Il suffit de compter comme 0 tout ce qui fait 9: le 3+6, le 8+1, les deux 9, il reste 2et 6 donc 8

Answer 1

9 compte pour 0 modulo 9 seulement
La commodité de la "preuve par neuf" vient du fait que 10 compte pour 1.
Il y a un autre cas sympathique peu utilisé c'est la "preuve par onze". Modulo 11 le dix compte pour -1 si il est de rang impair et pour 1 s'il est de rang pair.
Pour savoir si un nombre est divisible par 11 il suffit de faire la somme des chiffres successifs de rang pair et les soustraire de la somme de ceux de rang impairs. Si c'est nul ou divisible par 11 le nombre est divisible par 11.

Exemple 121 est divisible par 11 mais pas 111

Pour revenir à la question posée, la propriété énoncée est vrai modulo 9 mais pas modulo 11

Answer 2

Vite tu enregistres ta découverte avant qu'il soit trop tard. Ta photo sera près de celle de Pythagore

Answer 3

parmi les dix premiers nombres inventés, remarquez que 9 est le dernier. on ne fait que rajouter 1 (préalablement utilisé) sur 9 pour continuer la suite. Donc a chaque fois que l'on arrive a 9 on recommence a 1additionné du premier nombre.
ex 9+1 = 10 = 0+1=1 19+1=20 = 1+1=2 59+1=60 =5+1=6

Answer 4

Et vous avez remarqué que le carré de l'hypothénuse est égal au carré des deux autres côtés ? Je viens de remarquer ça :-)

J'ai aussi remarqué que E=MC2

ÉTONNANT, NON ? :-)

Answer 5

Preuve par neuf

Arithmétique -- Divisibilité et congruence

Il s'agit d'une méthode pour vérifier le résultat d'une multiplication. Supposons par exemple que, dépourvu de calculatrice, nous fassions le produit 263×461. On a trouvé 121243, et on voudra savoir si le résultat est juste. Pour cela, on trace une croix (type multiplication). Dans la case du haut, on écrit le reste par 9 de la somme des chiffres du premier nombre. Dans notre exemple, 263 donne 2+6+3 soit 11, et on écrit donc 2. En bas, on écrit le reste par reste de la somme des chiffres du deuxième nombre, ici 2. A droite, on écrit le produit de ces deux nombres, en prenant le reste par 9 : ici 4. Enfin, à gauche, on écrit le reste par 9 de la somme des chiffres du résultat trouvé, ici 4. Pour que le résultat soit exact, il faut que le nombre de droite soit égal au nombre de gauche. Attention! Ceci ne permet pas de dire a coup sûr que le résultat est juste mais si les deux nombres sont différents, le résultat est à coup sûr faux!
A l'heure des calculatrices, la preuve par neuf paraît un peu désuète, et n'est plus guère enseignée... C'est en revanche un exercice intéressant d'arithmétique de prouver que la preuve par neuf fonctionne!

Answer 6

Le 9 est l'élément neutre dans ce genre de cas, car 9+9=18=1+8=9

De meme 9*x te donnera toujours un nombre qui te ramènera à 9 (18,27,36,45,...)

De plus, 9+1=10=1+0=1 (et ca marche avec tous les autres chiffres), donc 9 est bien le neutre, bien vu ! belle astuce !

Answer 7

3+2+6+6+8+9+9+1=8?
autant pour moi je me suis arrêté au total...

Answer 8

le 9 est l'element neutre pour la loi 'addition' dans un anneaux que tu viens de definir ci dessus. voila pourquoi le 9 quand on additionne les chiffres d'un nombre "c'est comme" le 0 pour l'addition que l'on connait. Sachant que cet anneau est un corps, commutatif qui plus est, saurais tu quel est la loi equivalente de la multiplication que l'on connait?

Answer 9

Ah oui tien pas bête ca fait 44 donc 4+ 4=8... Etonnante ton astuce !

@ Ptit mago: ah super explication merci !