Est-il vrai que 1 = 0,9999999.... ?

Question

10 points à celui qui a la bonne réponse.

Voici la démonstration:

Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )
Remarque : un nombre à la decimale infinie celà a un sens : pensez à pi, racine de 2 ...
Prenons alors a le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie décimale une suite infinie de 9.
a = 0,99999999999999... (1) par définition
10×a = 9,99999999999999... (2) on multiplie par 10
10×a = 9 + 0,99999999999999... (3) on sépare les parties entière et décimale du membre de droite
10×a = 9 + a (4) par définition
10×a - a = 9 (5) on retranche a aux deux membres
9×a = 9 (6) on utilise le fait que 10-1=9
a = 1 (7) on divise par 9 les deux membres

Pour les moins matheux d'entre vous, voici une autre démonstration de ce que j'avance mais elle est beaucoup moins belle :

1 = 3/3 = 3 x 1/3 = 3 x 0.3333333.... = 0.9999.....

Mais tout aussi redoutablement efficace !

Très bonne réponse de david et fouchtra ;-)

Answer 1

C'est l'un des plus célèbres paradoxes de mathématiques.
Il y a de nombreuses façons pour le démontrer.
Et il donc 0,99999999999... (avec une infinité de 9) est égal à 1.
En tout cas, ça en excite plus d'un et en surprend d'autres... Ceux qui s'obstinent à croire que c'est faux n'ont pas compris que l'on répétait une infinité de fois le 9 après la virgule.

Je te donne une autre démonstration qui n'a pas été encore donnée:

0,9 = 1 - 1/10
0,99 = 1 - 1/10²
0,999 = 1 - 1/(10^3)
...
0,99999......9 (avec n "9" après la virgule) = 1 - 1/(10^n)

On a construit une suite telle que, lorsque n tend vers l'infini, le terme de gauche tend vers 0,999999.... (avec une infinité de "9") et celui de droite tend vers 1 (car 1/(10^n) tend vers 0)
CQFD

Mais il y a de très bonnes démonstrations précédemment, comme la tienne d'ailleurs.

Answer 2

c'est un problème résolu dans un cours d'algèbre, on pourrait définir pour un rationnel deux développement décimaux, ainsi pour 3/10, il y a 0.3 et 0.299999999... .
On a choisi mathématiquement la première solution.

De toute manière a_n = sigma (9*10^-i,i,1,n) tends vers a (il n'y a qu'à quantifier)
or a_n = 9 * (1-10^(n+1))/ (10-1) --> 1 quand n --> infini

donc le a que tu as défini, comme la somme de la série, vaut 1 par ce calcul. C'est l'écriture qui est trompeuse, c'est la même chose.

Answer 3

C'est absolument correct s'il y a un nombre infini de 9 après la virgule.
Intuitivement, on peut dire que deux nombres a et b sont différents si et seulement s'il existe un réel k non nul tel que a - b = k. Et là, pour tout k, on peut montrer que s'il y a une différence entre 1 et 0,99999999..., elle est plus petite que k. Comme c'est vrai pour tout k, k n'existe pas. D'où 0,9999999... = 1

Answer 4

Ta preuve se comprend mais c'est plus propre en utilisant des séries. La manipulation de nombres avec un nombre infini de décimales nécessite tout de même un minimum de formalisme.
En fait la clé de ta question est une convention d'écriture.
Voici la façon dont on définit l'écriture décimale propre d'un nombre réel x.
On définit une suite de décimales: u(0), u(1), u(2), etc., où u(0) est la partie entière du nombre et où x(n) est défini par une formule de récurrence:
u(n+1) est la partie entière de: 10^(n+1)*x-[10^(n+1)*u(0)+10^n...
Exemple: soit le nombre 19,275
u(0) est la partie entière de 19,275, donc 19
u(1) est la partie entière de 10*19,275-10*19=2,75, donc 2
u(2) est la partie entière de 100*19,275-100*19-10*2=7,5 donc 7
u(3) est la partie entière de 1000*19,275-1000*19-100*2*10*7... donc 5
u(n), pour n>=4, vaut 0.

On dit qu'une suite u(n) définit une écriture décimale d'un nombre x si la suite des sommes partielles du type: u(0)+10*u(1)+...+10^n*u(n) tend vers x.

On montre qu'à chaque nombre, la méthode de l'écriture décimale propre décrite ci-dessus associe une et une seule écriture décimale propre possible.
On montre aussi que tout nombre admet une seule écriture décimale possible si l'on exclut les écritures comportant une suite infinie de 9.
La suite donnée par les nombres 0; 0,9; 0,99; 0,999; etc., tend vers 1 et ce n'est que d'après la convention ci-dessus qu'on ne la retient pas comme écriture de 1.

Answer 5

Bonjour

Sur un PC surement ! Sur un Mac jamais !!!


Philippe

Answer 6

C'est faux et archi faux, c'est une erreur d'arrondi

Answer 7

Il faut créer une suite de terme géométrique.
U0=0.9 et de raison q=0.1

Ensuite tu calcules la somme des termes de la suite selon la formule:
S = U0 * [1-q^(n+1)] / (1-q)

Tu passes à la limite (faire tendre n vers l'infini) et tu verras ce qui se passe....

Answer 8

quand tu simplifies les hypothèses, il faut avouer que les résultats seront approximatifs mais pas exactes.
si a = 0.999999999....
et 10 x a = 9.999999....
ça ne veut pas dire que 10 x a = 9+ a
car il y a une approximation qui loupe tout. si a possède n chiffres après la virgule, alors 10 x a en possède n-1, d'où la différence au niveau du dernier chiffre dans la chaîne. et si on raisonne ainsi, a deviendra rationnel alors que ce n'est pas vrai. alors on ne doit pas se permettre de traiter l'irrationnel comme rationnel et en déduire des lois, car les approximations sont seulement du domaine des physiques et des sciences empiriques et non pas des mathématiques.

Answer 9

Si la suite 0.999999.... ne s'arrête pas il est tout à fait exact que cette suite est ègale à 1.La démonstration que tu donnes est parfaitement correcte et permet d'écrire en fraction toute suite illimitée périodique:exemple
soit a = 0.123123123123....alors
1000a=123.123123123....
donc 999a=123et a=123/999 (ou 41/333 en simplifiant par 3).Tu peux vérifier le résultat en faisant la division à la main.

Answer 10

@Argüelles : il est precise dans l'enonce que le nombre a vaut :
a=0.99999999999 (a l'inifini)

donc en effet, il y a bien un 9 en moins entre a et ce que tu as nomme d, mais l'infini ou l'infini - 1, ca fait pas une grosse difference...
et le raisonnement propose par TerraMater est tout a fait juste.

si la decimale de a n'etait pas infini, la, c'est toi qui aurait raison.