Si les mathématiques sont une science, quel en est l'objet?

Question

Cette question vient en complément à la question posée ici récemment de savoir si les mathématqiues étaient une science.

En supposant que la réponse est positive (nombreux sont ceux qui la défendent ) alors comment peut on définir l'objet ou les objets que cette science étudie?

Answer 1

Un participant a dit que "les mathématiques ont pour objet la modélisation de la réalité" ; je trouve que c'est plutôt le cas des sciences physiques.

A la question "Les mathématiques sont-elles une science ?", je réponds Non et j'argumente. Science, du latin scio "savoir". Or le savoir ne peut être que savoir d'une chose non artificielle, i. e. savoir quelque chose, c'est l'apprendre, le découvrir. Le terme de "science" ne s'applique donc en mon sens qu'à des objets non créés par l'homme ; et les mathématiques sont bien création humaine, n'en déplaise à Galilée qui déclarait que "Le monde est écrit en caractères mathématiques".
Ainsi la biologie est une science car les notions de cellule, de virus ... se sont imposées à l'homme par la recherche, de même pour les molécules ou les forces en sciences physiques. La démarche est différente en mathématiques puisque l'on définit les objets avant même de les utiliser.

La seconde question "Quel en est l'objet ?" est d'autant plus légitime. Je dirais que les mathématiques permettent la création d'objets et de lois qui, appliqués à notre monde par l'intermédiaire des différentes sciences, tentent de rendre ce monde connaissable. Voilà pourquoi on dit que les mathématiques sont la mère de toutes les sciences. En effet, pas de biologie, de physique ou d'astronomie sans les mathématiques.
Si l'on considère une science à part qui se passe des mathématiques, les seuls résultats que l'on peut espérer sont : "Le scientifique a vu cela" ; "Après il a vu cela" ... D'une part, on ne dit absolument pas si l'on accorde du crédit à la vision du scientifique ; il y a nécessité d'un axiome mathématique du type : "ce que je vois se passe réellement" ; axiome qui n'est absolument pas "naturel". D'autre part, les résultats mis ensemble ne permettent pas d'établir des lois puisqu'il faut là encore un axiome du type : "si une chose se passe dans toutes les conditions de la même façon, alors elle se passe toujours comme ça".

Ces questions sont très importantes et concernent toute une théorie de la connaissance, fondamentale dans nos sociétés où l'on vante de plus en plus les progrès scientifiques.
Pour résumer ces points, les mathématiques ne sont pas une science car elle est oeuvre humaine ; elles aident les autres sciences en tentant de formaliser le monde : en maths, l'homme crée ses objets et les impose à son monde (non réel bien sûr) ; en sciences, le monde crée ses objets et les impose à l'homme.

De cette distinction fondamentale, on peut arriver à la question qui me semble de loin la plus importante : "Les mathématiques ont-elles valeur de vérité ?" i. e. "Doit-on croire à un résultat prouvé mathématiquement ?"
Ici la réponse est double. Tant que le résultat concerne les mathématiques et seulement elles, il est tout à fait justifié. On est dans le cas d'un système complètement défini, les lois que l'on y déduit sont tout à fait correctes par rapport à ce système et à ces axiomes (logiques, géométriques ...). Maintenant sortons du monde mathématique et intéressons-nous au monde réel. Je vais prendre un cas très simple : celui d'un dé à six faces, de côté 1 cm. Quel est le volume de ce dé ? N'importe quel collégien dira immédiatement (du moins je l'espère) 1 cm cube. Très bien mais à quoi s'applique ce résultat ? A un dé pensé qui n'existe pas. Si je vous donne un dé, vous remarquerez vite qu'il n'a pas exactement 1 cm de côté, qu'il est un peu rayé ce qui réduit son volume ... Bref, le résultat que l'on a donné ne s'applique à aucun objet réel ; les mathématiques ne montrent rien dans le monde réel. Là je vais me faire des ennemis et j'en suis conscient.
Le problème réside dans le passage des lois mathématiques de leur monde où elles sont définies à un monde où d'autres lois (naturelles celles-ci donc inconnues) préexistent. Et là, tenter de connaître le monde réel s'apparente à une tentative de le dominer, l'homme tente de justifier ce monde qu'il n'a pas créé en lui appliquant des lois d'un autre qui est son oeuvre.

Doit-on pour autant abandonner toute recherche scientifique ? Non, absolument pas (je vais me refaire des amis) ! Si les lois mathématiques n'ont pas de légitimité dans notre monde, on peut tout de même estimer qu'elles sont en adéquation avec les lois naturelles (du moins en valeur approchée ...) et donc que la formalisation suffit pour l'usage que l'on veut se faire des objets matériels.

Answer 2

Elles n'ont pas d' "objet" à proprement parler. Le un, le triangle etc. ne sont pas des choses (ils n'ont pas de réalité indépendante de la pensée). Les concepts mathématiques sont des concepts construits par l'esprit (plus précisément, chez Kant: ils pensés par l'entendement et projetés dans l'intuition pure, c'est-à-dire dans l'espace et le temps que l'on "imagine en quelque sorte"; "le triangle" est en un sens "dans l'espace", mais pas dans l'espace empirique concret: sur ma feuille, je ne peux jamais vraiment tracer un triangle exact)

On peut néanmoins dire que ce sont des "quasi objets", pour reprendre une expression de J. Vuillemin (dans *Physique et métaphysique kantiennes*). Elle est pratique, cette expression, parce qu'elle permet d'exprimer le fait qu'en maths on parle de 'quelque' chose sans que ce soit vraiment une 'chose'.

Answer 3

Je ne connais presque rien des mathématiques. Mais je me risquerai ici à dire qu'il s'agit d'une science des logiques possibles. Pourquoi "des logiques" ? Parce que l'histoire des mathématiques semble montrer clairement que le rêve des premiers philosophes a été dissipé : il n'y a pas qu'un seul chemin pour aider l'esprit à marcher droit, mais un nombre indéfini de chemins. Ce qui n'enlève rien à la rigueur ou à l'exactitude, car ce sont les axiomes de départ qui à chaque fois changent.
Et si, par exemple, on donnait un peu de crédit à une logique ternaire, à une logique du tiers inclus ? Je suis sûr qu'on lui trouvera des applications multiples en sciences humaines.

Answer 4

Je crois simplement elle sers à l'homme à mieux connaitre son propre esprit

Answer 5

Les mathématiques sont tout simplement la base de toutes les sciences...

Answer 6

Je dirais la logique, même si cette notion est intuitive.

Answer 7

les mathématiques (il y en a plusieurs) sont une science qui a pour l'objet la modelisation scientifique de la réalité.
Ce qui a pour effet de modéliser de nouveaux concepts plus abstraits.

La finalité étant d'être capable de résoudre des problèmes (au sens large) de manière exacte.

Answer 8

1) Ca fait un siècle que les mathématiques n'ont d'autre objet qu'elles-mêmes (et plus leurs applications... )

2) Une matière est scientifique en fonction de ses méthodes, et non pas de ses objets. Il n'y a pas "des" sciences, en somme, c'est à dire qu'on ne peut pas donner de collection d'objets dont l'étude constituerait des sciences distinctes; il n'y a que "la" science, qui n'est que le champ d'application de la méthode scientifique, quelque soit l'objet.

3) La question se pose quant à la réfutabilité (qui est un critère de la méthode scientifique) des mathématiques dans leur cadre parfait (ensembliste), mais cette question est posée généralement pour de mauvaises raisons (par les tenants des théories constructivistes)

Et enfin, qu'est ce qu'on s'en fout de savoir si les mathématiques constituent une science ou pas ?

Answer 9

Contrairement à la physique ou à la biologie je ne suis pas sur que les maths étudient un objet.

Il s'agit plus de créer des théories un partant de postulats (ex: 1+1=2) en espérant qu'elles serviront un jour d'outil pour des sciences comme celles citées plus haut.

Answer 10

Les mathématiques sont la mère de pratiquement toutes les autres sciences.