A et B????

Question

Avec deux entiers positifs a et b, on a effectué les opérations suivantes :
1) L'addition des deux nombres,
2) La soustraction (du plus grand on a retranché le plus petit),
3) La multiplication des deux nombres,
4) La division du plus grand par le plus petit.
La somme de ces quatre résultats a été trouvée égale à 16807.
Quels sont les deux nombres initiaux ?
Donner toutes les solutions possibles.

Answer 1

Les solutions exactes ont été données.Voici une solution exploitant honteusement l'ordinateur avec le bon vieux gwbasic.
Tout d'abord si on appelle b le plus petit a=kb avec k entier (sinon a/b ne serait pas entier et la somme des 4 résultats non plus).L'énoncé se traduit par
kb+b+kb-b+kb^2+k=16807 soit kb^2+2kb+k=16807
maintenant sous gwbasic on entre
5 b=1
10 k=1
20 while k*b*b<16807 'c'est trop grand mais comme c'est l'ordinateur qui calcule...
30 if k*b*b+2*k*b+k=16807 then printb,kb
40k=k+1:wend
50 b=b+1:if b<16807 then 10 'même remarque qu'en 20
et en environ 2 secondes on obtient 6, 2058sur une ligne et 48 , 336 sur une autre avec le"ok" qui signale que l'ordinateur a tout calculé.Le calcul a été fait avec un ordinateur datant de 2002 et ayant un processeur athlon 1600

Answer 2

supposons que a>b
(a+b)+(a-b)+(a*b)+(a/b)=16807
donc 2a+a*b+a/b=16807
donc (a/b)*(2b+b²+1)=16807
donc (a/b)*(1+b)²=16807

or 16807=7^5=7*7*7*7*7
alors
il y a 2 cas:
1+b=7 et a/b=7*7*7
soit b=6 et a= 2058

ou
1+b=49 et a/b=7
soit b=48 et a 336

alors les seules solutions qui existent en N sont:
{ (6;2058); (48;336)}

Answer 3

j'essayais de trouver une identité remarquable en multipliant par b...
a=kb, c'est puissant, bravo à ceux qui ont trouvé

Answer 4

Alors, voyons un peu, résumons pour essayer de voir plus clair:
on a a-b+a+b+a*b+(a/b)=16807
Soit 2a+a*b+(a/b)=16807

Comment résoudre ce polynôme avec deux inconnus, sachant que a>b... La meilleurs façon est d'essayer de décomposer ce polynôme en une addition ou multiplication d'éléments plus simple. Alors voyons encore un peu:

2a+a*b+(a/b)=16807
factorisons par (a/b) (car c'est un élément particulier et embêtant), soit:

(a/b)*(2b+b^2+1)=16807
On remarque de suite que b^2+2b+1 est le développement de la forme (b+1)^2 [base mathématique: (a+b)^2=(a+b)*(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab]

Soit (a/b)*(b+1)*(b+1)=16807, ce qui est plus facile à résoudre
16807=x*y*z

En y réfléchissant (on cherche les multiples de 16807 [16807=7*7*7*7], on a 3 solutions:
16807=16807*1^2=16807*1*1
16807=343*7^2=343*7*7=343*49
16807=7*49^2=7*49*49=7*2401

Pour la première solution (16807*1*1), on aurait b+1=1 (a/b ne peut pas être égale à 1 car a>b), d'où b=0, ce qui est pas possible. donc cette solution est à rejeter.

Pour la deuxième solutions (343*7*7), on aurait b+1=7, soit b=6 et a/b=343. soit a=343*6=2058

Pour la troisième solution (7*49*49), on aurait b+1=49, soit b=48 et a/b=7, soit a=7*48=336

En conclusion, il n'existe que 2 couples de solutions, à savoir a et b comme (2058;6) et (336;48)

CQFD

Answer 5

Etant donné que ton problème est très largement ouvert, je ne vais pas y passer ma soirée dessus car résoudre une équation à deux inconnues n'est pas dans le domaine du possible mathematiquement, il faut essayer des combinaisons mais c'est lourd....

Answer 6

Deux solutions :
1) a=336, b=48
2) a=2058, b=6

Sandra, je t'adore.

Answer 7

A+B+A -B+AB +A/B=16807
2A+AB+A/B=16807
A(2+B+1/B)=16807
A(B2+2B=1)/B=16807.......

Answer 8

Tu as décidé de nous pourrir les vacances??

Answer 9

a+b+a-b+ab+a/b = 16807 soit 2a+ab+a/b = 16807, ne reste plus qu'à trouver toutes les solutions avec a<8404.

Answer 10

J'ai horreur de ça !