Explication du logarithme népérien e?

Question

Qu'est qu'un logarithme et qu'est-ce que le logarithme népérien e?

Answer 1

Voilà comment on définit la fonction exponentielle et la fonction logarithme proprement (pas comme dans les cours de lycée, qui font tout à l'envers):
exp(x)=somme(n=0..infini, x^n/n!)
= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ...
Le nombre e est égal à exp(1)=1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...
Il est facile de montrer, à partir des sommes partielles, que exp est sa propre dérivée.
On note ln (ou logarithme népérien) la fonction réciproque de la fonction exp.
Pour calculer la dérivée de ln, on utilise la formule:
exp(ln(x))=x
On dérive par rapport à x des deux cotés:
ln'(x).exp'(ln(x))=1
ln'(x).exp(ln(x))=1
ln'(x)=1/x

Answer 2

En fait, on sait intégrer (opération inverse de la dérivation) les x^a pour adifférent de -1 avec la formule x^(a+1)/(a+1). La question est de trouver une primitive de 1/x.
On peut démontrer qu'elle ne s'explicite pas en fonction des fonction polynomiales et trigonométriques. D'où la nécessité d'introduire une nouvelle fonction usuelle, le logarithme tel que (ln x)' = 1/x. Pb on la définit alors à une constante près, on choisit donc la primitive de 1/x sur R+^* qui s'annule en 1.
On démontre que le logarithme est croissant, que les limites aux bornes sont moins et plus l'infini, ainsi que la propriété
ln(ab) = ln (a) + ln (b).
Historiquement, cela permettait à l'aide de table de logarithmes à calculer un produit en n'effectuant que des additions, et c'est ainsi que Neper a introduit le logarithme.
Sinon, e peut être défini comme le réel tel que ln e =1. on a e=2,718....

Answer 3

e est un réel comme pi, il vaut env 2.7

Answer 4

en fait cela provient du passe profond, pour de banals besoins de simplification

le mot et la notion finale de logarithme viendrait d'euler

en fait, cela vient d'une constatation evidente : il est plus facile d'additionner des nombres que de les multiplier... Alors on a cherche des fonctions simples qui auraient, par exemple, la forme : f(a*b) = f(a) + f(b)... en rajoutant quelques proprietes, euler a trouve que la fonction inverse de (1/x) correspondait bien a cette definition...
Et on definit simplement e comme etant le nombre tel que ln(e) = 1 !

Bref le logarithme n'a pas ete defini comme la fonction inverse de l'exponentielle a la base !!!

L'exponentielle est issue elle des developpement en serie de taylor... Quand tu fais une serie de taylor tu cherche un polynome qui approche ta courbe f(x) de facon parfaite en un point donnee (par exemple 0 pour simplifier) ...

ton polynome est a + bx + cx*x + dx*x*x ...
donc tu vois que f(a) = a, f'(0) = b, f''(0) = 2c f'''(0) = 3*2*d etc (je derive une fois, puis deux puis trois)
donc derivee nieme (f) = n!*coefficient

bref f(0) = somme(0,infini)(deriveNieme(f) / n!)*x^n

et bien l'exponentielle est simplement la fonction qui a toutes ses derivees egales a 1...
on a donc une definition qui apparait : exp(n) = somme(0,infini)(x^n/n!)

A partir de la , ces deux notions vont converger, car on va remarquer le lien etroit entre ln et exp (on s'aidera toujours de ces series pour les voir)

Answer 5

Un logaritme c'est une fonction qui a des propriétés spéciales par exemple

Log (ab)=Log(a)+Log(b) c'est à dire transformation du produit en somme.

Le logarithme dit "neperien" à base e est noté ln

ln(e)=1

Mais il existe des logarithmes à bases différentes exemple Log(10)=1 pour le logarithme décimale.

Plus généralement ln(x) est la fonction qui a pour dérivée 1/x c'est la fonction réciproque associée à e(x) l'exponentielle.

C'est pourquoi ln(e(x))=x et e(ln(x))=1

Comme e(1)=e alors ln(e)=1

Answer 6

Le logarithme népérien est la primitive de la fonction 1/X.

Answer 7

le logarithme népérien peut se définir à partir de lex^ponentielle comme déja dit (cest la fonction inverse, cest a dire que exp(ln x)=ln(exp x)=x )

la fonction exponentielle est la solution de la fonction différentielle suivante :
f=f' où f' est la dérivé de f
voila ^^

Answer 8

A l'origine, le logarithme neperien est la primitive de la fonction 1/X qui vaut 1 pour x = e

Le logarithme néperien s'écrit : Ln

Answer 9

il ya deux type de logarithme " logaritheme décimale" et népérien.

le log(x) est une fontion qui est définie sur l'intervale ]0,+infini[
la limite à 0 est égale à -infinie
la limite à +infinie = + infinie
si x est supérieur à 1 log(x) est positif
si non négatif
log (1) = 0
est une fonction croissante
l'axe x= 0 est une asymptote en -infinie Sources : j'ai fait prépa !!!

Answer 10

logarithme népérien de x, ça s'écrit ln x.
C'est en quelque sorte une symétrie de la fonction exponentielle.
le ln de exponentienne x, c'est x.
Le logarithme de x (log x de base a), c'est le logarithme népérien de x divisé par le logarithme népérien de a.

Par exemple, log 2 de base 3 = ln2/ln3

Answer 11

Je ne me souviens plus exactement de ce que c'est, mais en tout cas, ce que je peux te dire :

'e' n'est pas le logarithme népérien mais la fonction exponentielle
'ln' est le logarithme népérien.

La fonction ln(x) est l'inverse de la fonction exponentielle (e^x).

Par contre, je ne me souviens plus de la définition de la fonction exponentielle