C’est un classique des probabilités :
Je vais essayer d’expliquer du mieux que je peux
Soit les pièces numérotées de 1 à 12 (on prend les pièces en vrac et on leurs donnes un chiffre qu’ils garderont tout au long de l’opération )
Rappelons que nous avons une balance de « ROBERVAL » ce qui veut dire que c’est une balance munie de deux plateaux, qui nous permettent de comparer le poids de chacun des objets qui se trouvent sur les deux plateaux. Si c’est le plateau droit qui est plus lourd, l’aiguille va virer à droite, si c’est le plateau gauche qui est plus lourd, l’aiguille vire à gauche, si les poids sont égaux, alors l’aiguille reste au milieu.
Quelque convention pour comprendre
Le signe | veut dire que je pèse deux objet (ou groupe d’objet) chacun dans un plateau
Le signe > signifie que l’aiguille de la balance vire à droite
Le signe < signifie que l’aiguille de la balance vire à gauche
Le signe = signifie que l’aiguille de la balance reste au milieu
On y vas !
Première pesée
1,2,3,4 | 5,6,7,8
Résultats possibles de la première pesée:
1,2,3,4 = 5,6,7,8
1,2,3,4>,5,6,7,8
1,2,3,4<5,6,7,8
Si 1,2,3,4 = 5,6,7,8 Alors on est sûr qu’il n’y a pas de fausse pièce
Deuxième pesée :
1,2,3 | 9,10,11
Résultats possibles de la deuxième pesée:
1,2,3=9,10,11
1,2,3>9,10,11
1,2,3<9,10,11
Si 1,2,3=9,10,11 alors pas de fausse pièce
Troisième pesée :
1 | 12
Résultats possibles de la troisième pesée:
1=12 donc pas de fausse pièce
1>12 donc la 12 c’est une fausse pièce et + lourde
1<12 donc la 12 c’est une fausse pièce et – lourde
Remarque : nous avons choisi la pièce 1 prsq qu’on sait qu’elle n’est pas fausse sur la base des autres hypothèses, on aurait pus prendre la 2 ou la 3, puisque sur la base des hypothèses précédente on sait que les pièces 1,2,3……11 ne sont pas fausses.
Revenons à la deuxième pesée, nous avons traité un cas celui ou 1,2,3=9,10,11
Traitons maintenant le deuxième cas :
Si 1,2,3>9,10,11 alors la fausse pièce est dans 9,10,11
Troisième pesée :
9 | 10
Résultats possibles de la troisième pesée:
9=10 donc la 11 est + lourde
9>10 donc la 10 est + lourde
9<10 donc la 9 est + lourde
Revenons à la deuxième pesée nous allons traiter la dernière hypothèse :
Si 1,2,3>9,10,11 alors la fausse pièce est dans 9,10,11
(car selon la première hypothèse les pièces 1,2,3 ne sont pas fausses)
Troisième pesée :
9 | 10
Résultats possibles de la troisième pesée:
9=10 donc la 11 est + légère
9>10 donc la 9 est + légère
9<10 donc la 10 est + légère
Voilà, donc nous avons traité tous les cas possibles de la première hypothèse de la première pesée selon laquelle 1,2,3,4 = 5,6,7,8
Passons maintenant à la deuxième hypothèse de la première pesée
Si 1,2,3,4>5,6,7,8
Deuxième pesée :
1,2,3,5 | 4,9,10,11
Résultats possibles de la deuxième pesée:
1,2,3,5 = 4,9,10,11
1,2,3,5 > 4,9,10,11
1,2,3,5 < 4,9,10,11
Si 1,2,3,5=4,9,10,11 alors
Troisième pesée :
6|7
Si 6=7 donc la 8 + lourde
Si 6>7 donc la 7 + lourde
Si 6<7 donc la 6 + lourde
Si 1,2,3,5>4,9,10,11 alors
Troisième pesée :
1|2
Si 1=2 donc la 3 + légère
Si 1>2 donc la 1 + légère
Si 1<2 donc la 2 + légère
Si 1,2,3,5<4,9,10,11 alors
Troisième pesée :
4|9
Si 4=9 donc la 5 + lourde
Si 4>9 donc la 4 + légère
Si 4<9 –Impossible –
Passons maintenant à la troisième hypothèse de la première pesée
Si 1,2,3,4 < 5,6,7,8
Deuxième pesée :
1,2,3,5 | 4,9,10,11
Résultats possibles de la deuxième pesée:
1,2,3,5 = 4,9,10,11
1,2,3,5 > 4,9,10,11
1,2,3,5 < 4,9,10,11
Si 1,2,3,5 = 4,9,10,11
Troisième pesée :
6|7
Si 6=7 donc la 8 + légère
Si 6>7 donc la 6 + légère
Si 6<7 donc la 7 + légère
Si 1,2,3,5 > 4,9,10,11
Troisième pesée :
4|9
Si 4=9 donc la 5 + légère
Si 4>9 –Impossible –
Si 4<9 donc la 4 + lourde
Si 1,2,3,5 < 4,9,10,11
Troisième pesée :
1|2
Si 1=2 donc la 3 + lourde
Si 1>2 donc la 2 + lourde
Si 1<2 donc la 1 + lourde
Il y a une autre méthode celle de la pièce temoin, amis ce n'ai pas ce que tu voulais ! et il y a même quelques lois de probabilité(déductives) pour trouver le nombre minimum de pesée
Et voilà nous avons fait toutes les possibilités, si tu n’a pas compris quelque chose tu me le dit et je te l’explique, ce problème se comprend mieux sous la forme d’un schéma (type arbre)
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Explications suite à une question :
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"Pourquoi après avoir fait 1234 | 5678 tu passes à 1235 | 4-9-10-11 ?"
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D’accord je vois !
Ce ne n’est pas le choix des chiffres eux même qui est important, mais le groupe auquel ils appartiennent, c’est des probabilités
Je m’explique
1 2 3 4 | 5 6 7 8 c’est la première pesée et 1 2 3 5 | 4 9 10 11 c’est la deuxième pesée en cas ou la première pesée donne l’un résultat 1 2 3 4 > 5 6 7 8 ou 1 2 3 4 < 5 6 7 8
Dans la première pesée :
1234 | 5678
Dans la première pesée
Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8
On est d’accord pour dire que les pièce 9,10,11,12 ne sont pas fausses, puisque en leurs absences de la balance cette dernière à viré à droite, et si elle a viré à droite c’est que la pièce ce trouve dans l’un des groupe : 1 2 3 4 ou 5 6 7 8 et puisque il y a une seule fausse pièce donc, les pièces 9,10,11,12 ne peuvent pas être fausses !
Deuxième pesée :
Le principe de la deuxième pesée est simple :
Dans le premier groupe (1 2 3 4) on garde 3 éléments et on leur ajoute un élément du deuxième groupe (5 6 7 8) tu peux choisir celui que tu veux !
Dans le deuxième groupe, on prend un élément du premier groupe et on ajoute 3 éléments dont on est sûr que ce ne sont pas de fausses pièces, dans notre cas ce sera l’un des trois quatre éléments (9 10 11 12)
Donc d’une part on retrouve 3 éléments du premier groupe déjà utilisé lors de la première pesée + un élément du deuxième groupe déjà utilisé dans la première pesée
De l’autre part, on retrouve un élément du premier groupe déjà utilisé lors de la première pesée + 3 éléments jamais utilisé mais dont on est sûr que ce ne sont pas de fausses pièce prsq lors de la première pesée la balance à penché sans leur présence !
Donc sa nous laisse le choix, mais le résultat sera le même ! après avoir exploiter toutes les combinaisons biensur
Tu peux essayer :
Première pesée :
1 2 3 4 | 5 6 7 8
Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8
Les possibilités pour la deuxième pesée sont :
1 2 3 6 | 4 9 10 12
ou
1 3 4 7 | 2 10 11 12
ect … toute les combinaisons son bonnes, le résultat sera le même une fois toutes les hypothèses exploiter !
Juste à titre d’exemple pour expliquer le raisonnement :
Première pesée :
1 2 3 4 | 5 6 7 8
Si 1 2 3 4 > 5 6 7 8
On prend cette possibilité pour la deuxième pesée :
1 2 3 6 | 4 9 10 12
D’une part On a garder 3 éléments du premier groupe de la première pesée
qui sont (1 2 3) et on a ajouter un élément du deuxième groupe de la première pesée qui est 6
D’une autre part, on a pris un élément du premier groupe de la première pesée qui est le 4 et les reste c’est des éléments qu’on a pas encore utilisé et on est sure que se ne sont pas de fausse pièces car la balance à penché en leurs absence lors de la première pesée et on sais qu’il n’y a qu’une seule fausse pièce
On y va :
Donc Deuxième pesée c’est
1 2 3 6 | 4 9 10 12
Si 1 2 3 6 = 4 9 10 12
Analyse :
On est sûr que 9 10 12 ne sont pas de fausses pièces.
Et pareil 1 2 3 6 ne sont pas de fausses pièces
Donc on regarde la première pesée on retient les éléments qui sont susceptible d’âtre la fausse pièce :
Voici les éléments de la première pesée
1 2 3 4 5 6 7 8
Voici les bonnes pièces
1 2 3 4 6 9 10 12
il reste 5 7 8 c’est les pièces suspectes
Troisième pesée
On prend les pièces suspectes qui font partie du même groupe lors de la première pesée
5|7 par exemple :
SI 5>7 cela veut dire que 5 est plus lourds que 7 et puisque la balance à virer du coté de ce groupe alors il y a une pièce qui est plus lourde que les autres (puisqu’on sait que le premier groupe est bon donc il ne peut pas s’agir d’une pièce plus légère dans le premier groupe) et puisque 5 est plus lourde que 7 et qu’il n y a qu’une seule fausse pièce alors c’est forcément la 5 qui est plus lourde !
SI 5<7 même raisonnement, donc c’est la 7 qui est plus lourde
SI 5=7 alors il reste la 8 qui est suspecte et puisque lors de la première pesée la balance à virer vers son groupe alors elle est plus lourde que les autres !
Voilà …. Et c’est la même chose pour le reste !!!
J’espère que j’ai été assez clair, si il y a une zone d’ombre tu me le dit !
Ohh la la que les maths sont dures à expliquer ! mais c’est logique une fois qu’on a compris !
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Au Passage pour "laloose" ta solution n'est pas bonne le principe est d'obtenir le resultat avec 3 pesées seulement, tu en a fait 5 !
Première pesée : 2 groupe de 6 on compare;
Deuxième pesée : on permute 3 pieces d'un plateau avec 3 pieces de l'autre;
Troisième pesée : on enleve une piece sur chaque plateau;
Quatrième pesée : on permute une pieces entre le plateau droit et le gauche;
Cinquième pesée : on en pese une avec une des pieces 10 autre pieces ;
2006-07-12 00:51:55
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answer #1
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answered by Lestat 3
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4⤊
1⤋